Exercício 3.10.31. Calcular o determinante da matriz
(lll k & 1 & 1 1 & k & 1 1 & 1 & k )
onde k in R.

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
A = k & 1 & 1 1 & k & 1 1 & 1 & k ,
onde kinR.
Vamos usar operações elementares de linha para simplificar o cálculo, lembrando que subtrair uma linha de outra não altera o determinante, e que fatorar um escalar de uma linha multiplica o determinante por esse escalar.

Passo 2

Aplicamos as operações
L2 ;; L2 - L1, L3 ;; L3 - L1
em A. Isso gera
k & 1 & 1 1-k & k-1 & 0 1-k & 0 & k-1
Note que em cada uma das linhas 2 e 3 aparece o fator k-1:
(1-k) = -(k-1)

Passo 3

Fatoramos (k-1) de cada uma das linhas 2 e 3. Logo,
det(A) = (k-1),(k-1), det k & 1 & 1 -1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 = (k-1)^2 det(B),
onde
B = k & 1 & 1 -1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1

Passo 4

Calculamos det(B) por regra de Sarrus ou expansão pela primeira linha:
det(B) = kcdotdet1 & 00 & 1 -1cdotdet-1 & 0-1 & 1 +1cdotdet-1 & 1-1 & 0
Cada menor vale
det1 & 00 & 1=1, det-1 & 0-1 & 1=-1, det-1 & 1-1 & 0=1
Assim,
det(B)=kcdot1 ;-;1cdot(-1);+;1cdot1 = k +1 +1 = k+2

Passo 5

Substituindo em det(A)=(k-1)^2det(B), obtemos
det(A) = (k-1)^2,(k+2)

Resposta

det k & 1 & 1 1 & k & 1 1 & 1 & k = (k-1)^2,(k+2)

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