Exercício 3.10.31. Calcular o determinante da matriz
onde k in R.
Passo 1
O enunciado pede o determinante da matriz
A = k & 1 & 1 1 & k & 1 1 & 1 & k ,
onde kinR.
Vamos usar operações elementares de linha para simplificar o cálculo, lembrando que subtrair uma linha de outra não altera o determinante, e que fatorar um escalar de uma linha multiplica o determinante por esse escalar.
Passo 2
Aplicamos as operações
L2 ;; L2 - L1, L3 ;; L3 - L1
em A. Isso gera
k & 1 & 1 1-k & k-1 & 0 1-k & 0 & k-1
Note que em cada uma das linhas 2 e 3 aparece o fator k-1:
(1-k) = -(k-1)
Passo 3
Fatoramos (k-1) de cada uma das linhas 2 e 3. Logo,