Exercício 3.10.42. Dizer por quais valores de existe a inversa da matriz
e calcular a inversa por esses valores.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os valores de k em que a matriz
A = k & 1 & 1 1 & k & 1 1 & 1 & k
é invertível e, nesses casos, calcular A^-1. O conteúdo usado será a fórmula do determinante para matrizes da forma (k-1)I+J (onde J é a matriz de uns) e a fórmula de Sherman–Morrison para a inversa de aI+bJ.
Passo 2
Note que
A = (k-1)I + 1cdot J,
com I identidade 3times3 e J matriz de todos 1. Para n=3 vale a fórmula
detl(aI + bJr) = a^n-1(a + bn)
Aqui a = k-1, b=1 e n=3, logo
det A = (k-1)^2l((k-1)+3cdot1r) = (k-1)^2(k+2)
Portanto A é invertível se, e somente se, det Aneq0, ou seja, kneq1 e kneq -2.
Passo 3
Para calcular a inversa de A=(k-1)I+J usamos a fórmula (Sherman–Morrison)
l(aI + bJr)^-1 = 1a,I ;-;bal(a+bnr),J,
válida quando aneq0 e a+bnneq0. Substituindo a=k-1, b=1, n=3 dá