Exercício 3.10.42. Dizer por quais valores de k in R existe a inversa da matriz
(ccc k & 1 & 1 1 & k & 1 1 & 1 & k )
e calcular a inversa por esses valores.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de k em que a matriz
A = k & 1 & 1 1 & k & 1 1 & 1 & k
é invertível e, nesses casos, calcular A^-1. O conteúdo usado será a fórmula do determinante para matrizes da forma (k-1)I+J (onde J é a matriz de uns) e a fórmula de Sherman–Morrison para a inversa de aI+bJ.

Passo 2

Note que
A = (k-1)I + 1cdot J,
com I identidade 3times3 e J matriz de todos 1. Para n=3 vale a fórmula
detl(aI + bJr) = a^n-1(a + bn)
Aqui a = k-1, b=1 e n=3, logo
det A = (k-1)^2l((k-1)+3cdot1r) = (k-1)^2(k+2)
Portanto A é invertível se, e somente se, det Aneq0, ou seja, kneq1 e kneq -2.

Passo 3

Para calcular a inversa de A=(k-1)I+J usamos a fórmula (Sherman–Morrison)
l(aI + bJr)^-1 = 1a,I ;-;bal(a+bnr),J,
válida quando aneq0 e a+bnneq0. Substituindo a=k-1, b=1, n=3
A^-1 = 1k-1,I ;-;1(k-1)l((k-1)+3r),J = 1k-1,I ;-;1(k-1)(k+2),J

Passo 4

Da expressão acima conclui-se que os elementos de A^-1 são
(A^-1)ii = 1k-1 ;-;1(k-1)(k+2) = k+1(k-1)(k+2), (A^-1)ij = -,1(k-1)(k+2)(ineq j)

Resposta

A matriz é invertível para kneq1 e kneq -2. Nesses casos,
A^-1 = 1k-1,I - 1(k-1)(k+2),J,
isto é,
(A^-1)ii = k+1(k-1)(k+2), (A^-1)ij = -1(k-1)(k+2) ;(ineq j)

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