Exercício 3.10.46. Dizer por quais valores de existe a inversa da matriz
e calcular a inversa por esses valores.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A= k & -k & 0 & 1 1 & -2 & -1 & 0 0 & 1 & k & 1 k & 0 & 0 & -1
e pede (1) para quais valores de kinR ela é invertível e (2) calcular A^-1. O conteúdo envolve determinante para verificar invertibilidade e eliminação de Gauss–Jordan para encontrar a inversa.
Passo 2
Calculamos det A expandindo pela terceira coluna:
det A = k&-k&0&1 1&-2&-1&0 0&1&k&1 k&0&0&-1 =2k(k-1)
Passo 3
Da fórmula det A=2k(k-1) vemos que det Aneq0 se, e somente se,
kneq0 e kneq1
Passo 4
Para kneq0,1, montamos o sistema aumentado l[Amid I4r] e aplicamos eliminação de Gauss–Jordan até obter l[I4mid A^-1r]. O resultado final para A^-1 é