Exercício 3.10.46. Dizer por quais valores de k in R existe a inversa da matriz
(cccc k & -k & 0 & 1 1 & -2 & -1 & 0 0 & 1 & k & 1 k & 0 & 0 & -1 )
e calcular a inversa por esses valores.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= k & -k & 0 & 1 1 & -2 & -1 & 0 0 & 1 & k & 1 k & 0 & 0 & -1
e pede ( 1) para quais valores de kinR ela é invertível e ( 2) calcular A^-1. O conteúdo envolve determinante para verificar invertibilidade e eliminação de Gauss–Jordan para encontrar a inversa.

Passo 2

Calculamos det A expandindo pela terceira coluna:
det A = k&-k&0&1 1&-2&-1&0 0&1&k&1 k&0&0&-1 =2k(k-1)

Passo 3

Da fórmula det A=2k(k-1) vemos que det Aneq0 se, e somente se,
kneq0 e kneq1

Passo 4

Para kneq0,1, montamos o sistema aumentado l[Amid I4r] e aplicamos eliminação de Gauss–Jordan até obter l[I4mid A^-1r]. O resultado final para A^-1 é
A^-1 = 2k-12k(k-1) & -k2(k-1) & -12(k-1) & 12k[1em] 1k-1 & -kk-1 & -1k-1 & 0[1em] -2k+12k(k-1) & k+22(k-1) & 32(k-1) & 12k[1em] 2k-12(k-1) & -k^22(k-1) & -k2(k-1) & -12 ]

Resposta

A matriz A é invertível se, e somente se,
kneq0 e kneq1
Para esses valores de k,
A^-1 = 2k-12k(k-1) & -k2(k-1) & -12(k-1) & 12k[1em] 1k-1 & -kk-1 & -1k-1 & 0[1em] -2k+12k(k-1) & k+22(k-1) & 32(k-1) & 12k[1em] 2k-12(k-1) & -k^22(k-1) & -k2(k-1) & -12 ]

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