Exercício 3.10.45. Calcular se for possível a inversa da matriz
cccc -1 & 4 & 0 & 0 2 & 0 & -1 & 1 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0

Passo 1

O enunciado pede a inversa de
A = -1 & 4 & 0 & 0 2 & 0 & -1 & 1 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0
Vamos usar eliminação de Gauss–Jordan: montamos a matriz aumentada [Amid I4] e reduzimos o bloco da esquerda à identidade, aplicando as mesmas operações à direita.

Passo 2

Montamos
l[Amid Ir]= (cccc|cccc -1 & 4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 2 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 )
Para ter pivô 1 em (1,1), fazemos R1 -R1:
(cccc|cccc 1 & -4 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 2 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 )

Passo 3

Eliminamos as entradas da coluna 1 em R2 e R3:
R2! R2-2R1,
R3! R3-R1.
O bloco da esquerda vira
1 & -4 & 0 & 0 0 & 8 & -1 & 1 0 & 4 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0
e o da direita
-1 & 0 & 0 & 0 2 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1

Passo 4

Pivô em (2,2) é 8. Fazemos R2 tfrac18R2 e em seguida
eliminamos coluna 2 em R1 e R3 via
R1 R1+4R2,
R3 R3-4R2.
Agora o bloco esquerdo vale
1 & 0 & -tfrac12 & tfrac12 0 & 1 & -tfrac18 & tfrac18 0 & 0 & tfrac12 & -tfrac12 0 & 0 & 1 & 0

Passo 5

Para pivô em coluna 3, trocamos R3 com R4, obtendo um 1 em (3,3).
Eliminamos então a coluna 3 em R1,R2,R4 usando combinações com o novo R3.
Fica o bloco esquerdo
1 & 0 & 0 & tfrac12 0 & 1 & 0 & tfrac18 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -tfrac12

Passo 6

Por fim, normalizamos R4 com -tfrac12 para ter pivô 1 em (4,4) e eliminamos a coluna 4 em R1,R2,R3.
O bloco esquerdo torna-se a matriz identidade e o direito se transforma em
A^-1 = 0 & 0 & 1 & 0 tfrac14 & 0 & tfrac14 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & -2 & 1

Resposta

A^-1 ;=; 0 & 0 & 1 & 0 tfrac14 & 0 & tfrac14 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & -2 & 1

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