Exercício 3.10.47. Provar que a matriz de passagem
, de uma base
para uma base
, possui inversa
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dadas duas bases
e
de um espaço vetorial
de dimensão
, a matriz de passagem
que leva coordenadas na base
para coordenadas na base
é inversível e que
O conteúdo fundamental é a representação de um vetor em coordenadas diferentes e a composição de aplicações lineares.
Passo 2
Seja
. Como
e
são bases, existem colunas
tais que, por definição de matriz de passagem,
Passo 3
Compondo essas duas fórmulas, obtemos
Como vale para todo
, concluímos
Trocando a ordem (começando em
e voltando a
) mostra-se também
Passo 4
Essas duas igualdades dizem que
é inversa à direita e à esquerda de
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