Exercício 3.10.47. Provar que a matriz de passagem MB^B^prime, de uma base B para uma base B^prime, possui inversa MB^prime^B.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dadas duas bases B e B' de um espaço vetorial V de dimensão n, a matriz de passagem
M B^ B'
que leva coordenadas na base B para coordenadas na base B' é inversível e que
l(M B^ B'r)^-1 = M B'^ B
O conteúdo fundamental é a representação de um vetor em coordenadas diferentes e a composição de aplicações lineares.

Passo 2

Seja vin V. Como B e B' são bases, existem colunas [v] B,[v] B'in R^n tais que, por definição de matriz de passagem,
[v] B' = M B^ B',[v] B, [v] B = M B'^ B,[v] B'

Passo 3

Compondo essas duas fórmulas, obtemos
[v] B = M B'^ Bl([v] B'r) = M B'^ Bl(M B^ B',[v] Br) = l(M B'^ B,M B^ B'r),[v] B
Como vale para todo [v] Bin R^n, concluímos
M B'^ B,M B^ B' = In
Trocando a ordem (começando em B' e voltando a B') mostra-se também
M B^ B',M B'^ B = In

Passo 4

Essas duas igualdades dizem que M B'^ B é inversa à direita e à esquerda de M B^ B'. Logo
l(M B^ B'r)^-1 = M B'^ B

Resposta

l(M B^ B'r)^-1 = M B'^ B

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