Exercício 3.10.48. Em R^3 considere as bases
B=(1,2,3),(1,0,1),(1,1,0)
e
B^prime=(1,1,1),(0,1,1),(1,1,0)
Calcular a matriz MB^B^prime, de mudança da base B para a base B^prime, e a sua inversa MB^prime^B.
Além disso, calcular as componentes do vetor v=(-1,2,2) na base B e sucessivamente calcular também as componentes de v na base B^prime, usando a matriz MB^prime^B.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^3,
B=(1,2,3),(1,0,1),(1,1,0),
B'=(1,1,1),(0,1,1),(1,1,0),
e pede a matriz de mudança de base de B para B', sua inversa, as componentes de v=(-1,2,2) em B e depois em B'.
Conteúdo: mudança de base em espaços vetoriais, inverter matrizes e resolver sistemas lineares.

Passo 2

Seja
P= 1 & 1 & 1 2 & 0 & 1 3 & 1 & 0 , P'= 1 & 0 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 ,
cuja coluna j é o j-ésimo vetor de B ou B'. As coordenadas se relacionam por
v = P,[ v] B e v = P',[ v] B'
Logo a matriz de mudança de B para B' é
M=M B^ B'=(P')^-1P

Passo 3

Calculamos (P')^-1 por adjunta. Primeiro o determinante:
det(P')= 1 & 0 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 =-1
Os cofatores levam à matriz adjunta transposta
(P')^-1=- -1 & 1 & 0 1 & -1 & -1 -1 & 0 & 1 ^T = 1 & -1 & 1 -1 & 1 & 0 0 & 1 & -1

Passo 4

Agora
M=(P')^-1P = 1 & -1 & 1 -1 & 1 & 0 0 & 1 & -1 1 & 1 & 1 2 & 0 & 1 3 & 1 & 0 = 2 & 2 & 0 1 & -1 & 0 -1 & -1 & 1

Passo 5

Para M^-1=M B'^ B calculamos o determinante det(M)=-4 e a adjunta, chegando a
M^-1 = tfrac14 & tfrac12 & 0 tfrac14 & -tfrac12 & 0 tfrac12 & 0 & 1

Passo 6

Para achar [ v] B resolvemos
P,(x1,x2,x3)^T =(-1,2,2)^T,
isto é o sistema
x1+x2+x3=-1, 2x1,+,x3=2, 3x1+x2=2
A solução é
[ v] B =l(tfrac54,,-tfrac74,,-tfrac12r)

Passo 7

Finalmente as componentes em B' vêm de
[v]B' ;=; M,[v]B = 2 & 2 & 0 1 & -1 & 0 -1 & -1 & 1 tfrac54[6pt] -tfrac74[3pt] -tfrac12 = -1[3pt]3[3pt]0 ]

Resposta

M B^ B'= 2 & 2 & 0 1 & -1 & 0 -1 & -1 & 1 , M B'^ B= tfrac14 & tfrac12 & 0 tfrac14 & -tfrac12 & 0 tfrac12 & 0 & 1 [ v] B=(tfrac54,,-tfrac74,,-tfrac12), [ v] B'=(-1,,3,,0)

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