Exercício 3.10.49. Em R^4 considere as bases
B=(1,2,0,0),(1,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)
e
B^prime=(1,1,0,0),(2,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,2)
Calcular a matriz MB^B^prime, de mudança da base B para a base B^prime, e a sua inversa MB^prime^B.
Além disso, calcular as componentes do vetor v=(-1,1,-1,1) na base B e sucessivamente calcular também as componentes de v na base B^prime, usando a matriz MB^prime^B.

Passo 1

O enunciado trabalha em R^4 com duas bases
B = b1,b2,b3,b4
e
B' = b'1,b'2,b'3,b'4,
onde
b1=(1,2,0,0),;b2=(1,0,1,0),;b3=(0,1,0,0),;b4=(0,0,0,1),
b'1=(1,1,0,0),;b'2=(2,0,1,0),;b'3=(0,1,0,0),;b'4=(0,0,0,2)
Queremos a matriz de mudança de base de B para B',
MB^B', sua inversa MB'^B,
e as coordenadas de v=(-1,1,-1,1) em cada base.

Passo 2

Para achar MB^B' montamos cada coluna como as coordenadas de bj na base B'. Por exemplo, para b1=(1,2,0,0) buscamos (a1,a2,a3,a4) tais que
a1(1,1,0,0)+a2(2,0,1,0)+a3(0,1,0,0)+a4(0,0,0,2)=(1,2,0,0)
Resolvendo obtemos (a1,a2,a3,a4)=(1,0,1,0). Repetindo para b2,b3,b4 achamos:
b2mapsto(-1,1,1,0), b3mapsto(0,0,1,0), b4mapsto(0,0,0,tfrac12)
Logo,
MB^B'= 1 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & tfrac12

Passo 3

Para obter MB'^B=(MB^B')^-1 notamos que a última linha/coluna isola-se com tfrac12, inversionável por 2, e o bloco 3times3
A=1 & -1 &00&1&01&1&1
tem inversa
A^-1=1&1&00&1&0-1&-2&1
Portanto
MB'^B = 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 -1 & -2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 2

Passo 4

Para achar as coordenadas de v=(-1,1,-1,1) na base B, resolvemos
c1(1,2,0,0)+c2(1,0,1,0)+c3(0,1,0,0)+c4(0,0,0,1)=(-1,1,-1,1)
Das componentes vem
c2=-1,; c1+c2=-1implies c1=0,; 2c1+c3=1implies c3=1,; c4=1
Logo
[v]B=(0,,-1,,1,,1)

Passo 5

Finalmente, para obter as componentes de v em B' usamos
[v]B' = MB^B',[v]B = 1 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & tfrac12 0-111 = 1-10tfrac12

Resposta

MB^B'= 1 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & tfrac12 ,
\quad
MB'^B= 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 -1 & -2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 2 ,
[v]B=(0,,-1,,1,,1), [v]B'=(1,,-1,,0,,tfrac12)

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