Questão 1. (Valor 2,0) Determine k para que:
a) O vetor v=(1, k,-k) seja combinação linear dos vetores u1=(2,1,1) e u2=(0,1,1).
b) Os vetores (1,2,1) ;(2, k, 1) ;(k, 3, k) não formem uma base de R^3.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas envolvendo k:
a) verificar quando o vetor v=(1,k,-k) está no span de u1=(2,1,1) e u2=(0,1,1), isto é, é combinação linear deles;
b) determinar quando os três vetores (1,2,1), (2,k,1) e (k,3,k) deixam de ser base de R^3.
Para (a) vamos montar um sistema para encontrar escalares a,b. Para (b) usamos o critério de base em R^3: os vetores formam base sse seu determinante é não-nulo.

Passo 2

Item (a): queremos
(1,k,-k) ;=; a,(2,1,1);+;b,(0,1,1)
Isso gera o sistema
1 = 2a + 0cdot b, k = a + b, -,k = a + b
Da primeira equação vem a=tfrac12. Das duas últimas temos
k = a+b e -,k = a+b ;Longrightarrow; k = -,k ;Longrightarrow; 2k=0 ;Longrightarrow; k=0

Passo 3

Item (b): os vetores deixam de ser base exatamente quando são linearmente dependentes, isto é, quando o determinante da matriz
é zero. Calculamos
Isso dá
Para dependência basta , logo

Resposta

a) k=0
b) k=tfrac32

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