Exercício 10. (Apostol, capítulo 8.9, exercícios 4 a 9) Calcule as derivadas parciais partial fpartial xj das funções abaixo:
f(x)=sumj=1^n sumi=1^n ai j xi xj, x in R^n e ai j são constantes

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=sumi=1^nsumj=1^naij,xi,xj,
onde os aij são constantes. O objetivo é calcular a derivada parcial partial fpartial xk para um índice genérico k. Vamos usar a linearidade da derivada e a regra do produto em derivadas parciais.

Passo 2

Recordemos que a derivada parcial de um produto é
partialpartial xkl(xi,xjr) =partial xipartial xk,xj + xi,partial xjpartial xk =de<aik,xj + xi,de<ajk,
onde de<aik é o delta de Kronecker ( de<aik=1 se i=k e 0 caso contrário).

Passo 3

Aplicando essa regra termo a termo no duplo somatório, temos
partial fpartial xk =sumi=1^nsumj=1^naij,l(de<aik,xj + xi,de<ajkr)
Separamos em duas somas:
sumi,jaij,de<aik,xj e sumi,jaij,xi,de<ajk

Passo 4

Na primeira soma, de<aik obriga i=k, então
sumi,jaij,de<aik,xj =sumj=1^n akj,xj
Na segunda, de<ajk obriga j=k, logo
sumi,jaij,xi,de<ajk =sumi=1^n ai k,xi
Somando as duas partes e trocando o índice de soma para i em ambas, obtemos
partial fpartial xk =sumi=1^n ai k,xi + sumi=1^n ak i,xi =sumi=1^nl(aik+akir),xi

Resposta

partial fpartial xj =sumi=1^nl(ai j+aj ir),xi

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