Exercício 10. (Apostol, capítulo 8.9, exercícios 4 a 9) Calcule as derivadas parciais
das funções abaixo:
e
são constantes
Passo 1
O enunciado nos dá a função
onde os
são constantes. O objetivo é calcular a derivada parcial
para um índice genérico
. Vamos usar a linearidade da derivada e a regra do produto em derivadas parciais.
Passo 2
Recordemos que a derivada parcial de um produto é
onde
é o delta de Kronecker (
se
e
caso contrário).
Passo 3
Aplicando essa regra termo a termo no duplo somatório, temos
Separamos em duas somas:
Passo 4
Na primeira soma,
obriga
, então
Na segunda,
obriga
, logo
Somando as duas partes e trocando o índice de soma para
em ambas, obtemos