Usando o Teorema de L’Hospital, calcule os limites:
lim x 0 x cdot cotg(2 x)

Passo 1

O enunciado pede calcular
limx 0 x cdot cotg(2x)
O conteúdo é limite de função e uso do Teorema de L’Hospital. Como temos um produto que tende a 0 cdot infty, vamos reescrever como quociente para aplicar L’Hospital.

Passo 2

Reescrevendo o produto em forma de fração:
x cotg(2x) = x cos(2x)sin(2x)
Quando x to 0, o numerador vai a 0 e o denominador também vai a 0, temos a forma indeterminada tfrac00, então podemos usar o Teorema de L’Hospital.

Passo 3

Aplicando L’Hospital, derivamos numerador e denominador:
Numerador f(x) = x cos(2x)
f'(x) = cos(2x) - 2x sin(2x)
Denominador g(x) = sin(2x)
g'(x) = 2 cos(2x)
Logo,
limx to 0 x cos(2x)sin(2x) = limx to 0 f'(x)g'(x) = limx to 0 cos(2x) - 2x sin(2x)2 cos(2x)

Passo 4

Basta agora substituir x=0:
cos(0)-2cdot0cdotsin(0)2cos(0) =1-02cdot1 =12

Resposta

12

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