Exercício 10. (Apostol seção 4.8 exercícios 8) Calcule os autovalores das matrizes abaixo:
\left( llll0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0\right).

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A = 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0
e pede os seus autovalores. O conteúdo principal é o cálculo do polinômio característico ou, de forma mais rápida, a observação de que A é uma matriz de permutação com a propriedade A^2=I.

Passo 2

Vamos verificar que
A^2 = 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 ^2 = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 = I4

Passo 3

Se (v,lambda) é um autovalor e autovetor de A, então
A^2 v = lambda^2 v
mas como A^2v = I4v = v, temos
lambda^2 v = v Rightarrow (lambda^2 - 1)v = 0
Como vneq 0, vem lambda^2 - 1 = 0, ou seja,
lambda = pm 1

Passo 4

Para determinar as multiplicidades algébricas, notamos que tr(A)=0 é a soma dos autovalores. Sejam m+ e m- as multiplicidades de +1 e -1. Então
m+ + m- = 4, (+1),m+ + (-1),m- = 0
Da segunda equação segue m+ = m-. Com isso, m+ = m- = 2. Logo o polinômio característico é
chiA(lambda) = (lambda - 1)^2(lambda + 1)^2

Resposta

Os autovalores de A são
underbrace1,1duas vezes e underbrace-1,-1duas vezes

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