Com o Método dos Coeficientes a Determinar (MCD), encontre a solução geral da edo.
y^prime-5 y=(x-1) sen x+(x+1) cos x

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método dos coeficientes a determinar, a equação diferencial linear de primeira ordem
y'-5y=(x-1)sen x+(x+1)cos x
Aqui o conteúdo é EDO linear não homogênea com coeficientes constantes, cuja solução geral é
soma da solução homogênea yh e de uma solução particular ypçãêçã

Passo 2

Primeiro encontramos a solução homogênea, resolvendo
y'-5y=0
Essa é separável ou tem equação característica r-5=0, logo r=5 e
yh=C e^5x,
onde C é constante arbitrária.

Passo 3

Para o termo não homogêneo (x-1)sen x+(x+1)cos x, propomos uma solução particular da forma
yp=(Ax+B)sen x+(Cx+D)cos x,
pois RHS é polinômio de grau 1 em x multiplicando sen x e cos x.

Passo 4

Calculamos yp'. Usando ddx[(Ax+B)sen x]=Asen x+(Ax+B)cos x e ddx[(Cx+D)cos x]=Ccos x-(Cx+D)sen x, temos
yp' =l[-(Cx+D)+Ar]sen x+l[(Ax+B)+Cr]cos x
Então
yp'-5yp =l[-(Cx+D)+Ar]sen x+l[(Ax+B)+Cr]cos x -5l[(Ax+B)sen x+(Cx+D)cos xr]

Passo 5

Reagrupando coeficientes em sen x e cos x obtemos
yp'-5yp =l[-(C+5A)x+(A-D-5B)r]sen x +l[(A-5C)x+(B+C-5D)r]cos x
Isso deve coincidir com
(x-1)sen x+(x+1)cos x =x,sen x-1cdotsen x+x,cos x+1cdotcos x

Passo 6

Igualando coeficientes de
As duas primeiras equações determinam .

Passo 7

Resolvendo
C+5A=-1, A-5C=1,
vem A=-tfrac213 e C=-tfrac313

Passo 8

Agora das duas últimas
A-D-5B=-1, B+C-5D=1
substituímos A e C. Em seguida achamos
B=71338, D=-69338

Passo 9

Portanto uma solução particular é
yp=l(-tfrac213x+tfrac71338r)sen x +l(-tfrac313x-tfrac69338r)cos x
A solução geral é a soma de yh e yp.

Resposta

boxedy(x)=C e^5x +l(-tfrac213x+tfrac71338r)sen x +l(-tfrac313x-tfrac69338r)cos x, CinR

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