Exercício 9. (Apostol seção 4.8 exercícios 1,2,3,7) Para cada uma das matrizes abaixo, determine os autovalores, os autovetores e a dimensão do autoespaço.
\\left(\\begin{array}{ccc}5 & -6 & -6 \ -1 & 4 & 2 \ 3 & -6 & -4\end{array}\\right)\’

Passo 1

O enunciado pede os autovalores, autovetores e dimensões dos autoespaços da matriz
A = 5 & -6 & -6 -1 & 4 & 2 3 & -6 & -4
Conteúdo: cálculo do polinômio característico det(A-lambda I)=0, fatoração para achar os autovalores lambda, depois resolver (A-lambda I)v=0 para os autovetores e determinar a dimensão de cada autoespaço (multiplicidade geométrica).

Passo 2

Calcular o determinante de A-lambda I:
A - lambda I = 5-lambda & -6 & -6 -1 & 4-lambda & 2 3 & -6 & -4-lambda
Fazendo a expansão por cofactores e simplificando, chega-se ao polinômio
det(A-lambda I) = -lambda^3 +5lambda^2 -8lambda +4
que, multiplicando por -1, fica
lambda^3 -5lambda^2 +8lambda -4
Testando lambda=1, vemos que é raiz, e dividindo por (lambda-1) obtemos
lambda^3 -5lambda^2 +8lambda -4 = (lambda-1)(lambda^2 -4lambda +4) = (lambda-1)(lambda-2)^2

Passo 3

Da fatoração concluímos os autovalores e suas multiplicidades algébricas:
lambda1 = 1, com mu<iplicidade algébrica 1, lambda2 = 2, com mu<iplicidade algébrica 2 éé

Passo 4

Para , resolvemos :
Da segunda equação vem . Substituindo na primeira obtemos , ou . Logo
e o autoespaço é gerado por um só vetor, por exemplo
A dimensão do autoespaço é 1.

Passo 5

Para , resolvemos :
Basta a equação , ou . Dois graus de liberdade dão dimensão 2, com base, por exemplo,

Resposta

Autovalores e seus autoespaços:
(1)
Autovalor lambda=1 (algébrica 1), autoespaço de dimensão 1 gerado por
(-3,,1,,-3)
(2)
Autovalor lambda=2 (algébrica 2), autoespaço de dimensão 2 gerado por
(2,,1,,0) e (2,,0,,1)

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