Exercício 10. (Apostol seção 4.8 exercícios 8) Calcule os autovalores das matrizes abaixo:
\left(
\right)
\left(
Passo 1
O enunciado pede os autovalores da matriz de ordem
O conteúdo é cálculo de autovalores via polinômio característico
det(A - lambda I) . Vamos usar o fato de que
A se decompõe em dois blocos
2times2 .
Passo 2
Observamos que
Como
A é bloco-diagonal com dois blocos iguais a
B , seu polinômio característico satisfaz
Passo 3
Calculemos
det(B - lambda I2) . Temos
logo
As raízes de
lambda^2 - 1 = 0 são
lambda = 1 e
lambda = -1 .
Passo 4
Como o bloco
B aparece duas vezes, cada autovalor de
B tem multiplicidade
2 em
A . O polinômio característico de
A é
cuja fatoração em raízes dá os autovalores de
A .
Resposta
Os autovalores de
A são
;1 com multiplicidade
2 e
-1 com multiplicidade
2 .