Exercício 10. (Apostol seção 4.8 exercícios 8) Calcule os autovalores das matrizes abaixo:
\left( llll0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0\right)

Passo 1

O enunciado pede os autovalores da matriz de ordem 4
A = 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0
O conteúdo é cálculo de autovalores via polinômio característico det(A - lambda I). Vamos usar o fato de que A se decompõe em dois blocos 2times2.

Passo 2

Observamos que
A = B & 0 0 & B , onde B = 0 & 1 1 & 0
Como A é bloco-diagonal com dois blocos iguais a B, seu polinômio característico satisfaz
det(A - lambda I4) = l[det(B - lambda I2)r]^2

Passo 3

Calculemos det(B - lambda I2). Temos
B - lambda I2 = -lambda & 1 1 & -lambda ,
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det(B - lambda I2) = (-lambda)(-lambda) - 1cdot1 = lambda^2 - 1
As raízes de lambda^2 - 1 = 0 são lambda = 1 e lambda = -1.

Passo 4

Como o bloco B aparece duas vezes, cada autovalor de B tem multiplicidade 2 em A. O polinômio característico de A é
(lambda^2 - 1)^2
cuja fatoração em raízes dá os autovalores de A.

Resposta

Os autovalores de A são
;1 com multiplicidade 2 e -1 com multiplicidade 2.

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