Exercício 10. (Apostol seção 4.8 exercícios 8) Calcule os autovalores das matrizes abaixo:
\left( cccc1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular os autovalores da matriz
A = 1 & 0 & 0 & 0 [6pt] 0 & 1 & 0 & 0 [6pt] 0 & 0 & -1 & 0 [6pt] 0 & 0 & 0 & -1
Esse é um exercício de autovalores de matrizes, em que vamos usar o polinômio característico det(A - lambda I).]

Passo 2

Como A é diagonal, temos
A - lambda I = 1-lambda & 0 & 0 & 0 [4pt] 0 & 1-lambda & 0 & 0 [4pt] 0 & 0 & -1-lambda & 0 [4pt] 0 & 0 & 0 & -1-lambda
O determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal, logo
det(A - lambda I) = (1-lambda),(1-lambda),(-1-lambda),(-1-lambda) = (1-lambda)^2,(-1-lambda)^2 ]

Passo 3

Para achar os autovalores, resolvemos
det(A - lambda I) = 0 ;Longrightarrow; (1-lambda)^2,(-1-lambda)^2 = 0
Dessa igualdade vêm as raízes
1-lambda = 0 implies lambda = 1, -1-lambda = 0 implies lambda = -1,
cada uma com multiplicidade algébrica 2.

Resposta

Os autovalores de A são
lambda = 1 (multiplicidade 2) e
lambda = -1 (multiplicidade 2).

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