Exercício 10. Biólogos marcam 20 tartarugas em uma baía que contém um total de 80 tartarugas. Na semana seguinte, eles capturam 10 tartarugas. Qual a probabilidade de que exatamente 4 das tartarugas recapturadas estejam marcadas ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • \;20\; tartarugas marcadas numa baía com um total de \;80\; tartarugas.
  • Na semana seguinte capturam-se \;10\; tartarugas.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que exatamente \;4\; das tartarugas recapturadas estejam marcadas?
Informações relevantes (resumindo em símbolos):
N=80,\quad K=20,\quad n=10,\quad k=4.

Passo 2

Raciocínio combinatório (ideia principal, explicada devagar):
  • A amostra de \;10\; tartarugas é retirada sem reposição do total de \;80\;. Então todas as escolhas de \;10\; tartarugas são igualmente prováveis.
  • O número total de maneiras de escolher \;10\; tartarugas dentre \;80\; é dado por
\binom{80}{10}.
  • Para que exatamente \;4\; sejam marcadas precisamos escolher \;4\; entre as \;20\; marcadas e, ao mesmo tempo, escolher \;6\; entre as \;60\; não marcadas (porque 10-4=6). O número de maneiras favoráveis é
\binom{20}{4}\cdot \binom{60}{6}.
  • Assim a probabilidade pedida é a razão entre o número de maneiras favoráveis e o número total de maneiras:
\text{probabilidade}=\dfrac{\binom{20}{4}\,\binom{60}{6}}{\binom{80}{10}}.
Essa fórmula é a chamada distribuição hipergeométrica; aqui só usei contagem direta (combinações).

Passo 3

Lembrete sobre combinações (o que significa \binom{n}{k}):
\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é o produto n(n-1)(n-2)\cdots 1. Aqui:
  • \binom{20}{4} é o número de formas de escolher 4 marcadas dentre 20.
  • \binom{60}{6} é o número de formas de escolher 6 não marcadas dentre 60.
  • \binom{80}{10} é o número de formas de escolher 10 tartarugas dentre 80.

Passo 4

Calcule \binom{20}{4} passo a passo:
\binom{20}{4}=\dfrac{20\cdot 19\cdot 18\cdot 17}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}.
Fazendo as contas:
20\cdot 19\cdot 18\cdot 17=116280, \qquad 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24,
\binom{20}{4}=\dfrac{116280}{24}=4845.

Passo 5

Calcule \binom{60}{6} passo a passo:
\binom{60}{6}=\dfrac{60\cdot 59\cdot 58\cdot 57\cdot 56\cdot 55}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}.
O denominador 6!=720. O numerador:
60\cdot 59\cdot 58\cdot 57\cdot 56\cdot 55 = 36\,045\,979\,200.
Dividindo:
\binom{60}{6}=\dfrac{36\,045\,979\,200}{720}=50\,063\,860.

Passo 6

Número de casos favoráveis (produto das combinações calculadas):
\binom{20}{4}\cdot\binom{60}{6}=4845\cdot 50\,063\,860.
Fazendo a multiplicação:
4845\cdot 50\,063\,860 = 242\,559\,401\,700.

Passo 7

Calcule (ou escreva) o total de casos possíveis \binom{80}{10}. Pelas contas:
\binom{80}{10}=\dfrac{80\cdot79\cdots71}{10!} =\dfrac{5\,974\,790\,569\,203\,456\,000}{3\,628\,800}\approx 1{,}6466367\times 10^{12}.
(Para a probabilidade final só precisamos do valor numérico aproximado deste combinatório.)

Passo 8

Agora a probabilidade pedida é
\text{probabilidade}=\dfrac{242\,559\,401\,700}{\binom{80}{10}} \approx \dfrac{242\,559\,401\,700}{1{,}6466367\times 10^{12}} \approx 0{,}1473.
Ou seja, aproximadamente 14{,}73\%. Mantenha em mente a forma exata da resposta (útil na prova) e mostre os cálculos numéricos como acima.

Resposta

\dfrac{\binom{20}{4}\,\binom{60}{6}}{\binom{80}{10}}\approx 0{,}1473

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