Exercício 10. Biólogos marcam 20 tartarugas em uma baía que contém um total de 80 tartarugas. Na semana seguinte, eles capturam 10 tartarugas. Qual a probabilidade de que exatamente 4 das tartarugas recapturadas estejam marcadas ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
- Há
tartarugas marcadas numa baía com um total de tartarugas. - Na semana seguinte capturam-se
tartarugas. - Pergunta: qual a probabilidade de que exatamente
das tartarugas recapturadas estejam marcadas?
Informações relevantes (resumindo em símbolos):
Passo 2
Raciocínio combinatório (ideia principal, explicada devagar):
- A amostra de
tartarugas é retirada sem reposição do total de . Então todas as escolhas de tartarugas são igualmente prováveis. - O número total de maneiras de escolher
tartarugas dentre é dado por
- Para que exatamente
sejam marcadas precisamos escolher entre as marcadas e, ao mesmo tempo, escolher entre as não marcadas (porque ). O número de maneiras favoráveis é
- Assim a probabilidade pedida é a razão entre o número de maneiras favoráveis e o número total de maneiras:
Essa fórmula é a chamada distribuição hipergeométrica; aqui só usei contagem direta (combinações).
Passo 3
Lembrete sobre combinações (o que significa
):
onde
(fatorial) é o produto
. Aqui:
-
é o número de formas de escolher 4 marcadas dentre 20. -
é o número de formas de escolher 6 não marcadas dentre 60. -
é o número de formas de escolher 10 tartarugas dentre 80.
Passo 4
Calcule
passo a passo:
Fazendo as contas:
Passo 5
Calcule
passo a passo:
O denominador
. O numerador:
Dividindo:
Passo 6
Número de casos favoráveis (produto das combinações calculadas):
Fazendo a multiplicação:
Passo 7
Calcule (ou escreva) o total de casos possíveis
. Pelas contas:
(Para a probabilidade final só precisamos do valor numérico aproximado deste combinatório.)
Passo 8
Agora a probabilidade pedida é
Ou seja, aproximadamente
. Mantenha em mente a forma exata da resposta (útil na prova) e mostre os cálculos numéricos como acima.