Exercício 8. Um laboratório de monitoramento ambiental recebeu um lote de 15 amostras de água de um mesmo rio. Sabe-se que, desse total, 6 amostras estão em conformidade com os padrões de qualidade e as outras 9 estão fora de conformidade (poluídas). Um técnico de laboratório irá selecionar aleatoriamente 4 amostras para uma análise química mais aprofundada. Qual é a probabilidade de que o técnico selecione exatamente 3 amostras poluídas e 1 amostra em conformidade?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
- Há um total de
amostras. - Destas,
estão em conformidade (não poluídas). - Destas,
estão poluídas. - O técnico seleciona aleatoriamente
amostras, sem reposição. - Pergunta: qual a probabilidade de obter exatamente
amostras poluídas e amostra em conformidade?
Passo 2
Como pensar no problema (intuição e método):
- Estamos escolhendo
amostras sem reposição de um total de . Quando a seleção é sem reposição e queremos a probabilidade de um certo número de sucessos (aqui: amostras poluídas) numa amostra fixa, usamos a distribuição hipergeométrica. - A fórmula geral da hipergeométrica é
onde:
-
é o total de itens disponíveis (aqui ), -
é o número de itens “do tipo de interesse” no total (aqui poluídas, ), -
é o número de itens que vamos escolher (aqui ), -
é o número de itens do tipo de interesse que queremos na seleção (aqui ), -
é o número de combinações de escolher itens dentre . - Interpretação da fórmula: o numerador conta de quantas maneiras podemos escolher
poluídas entre as poluídas e escolher conformes entre as conformes; o denominador é o total de maneiras de escolher amostras dentre .
Passo 3
Calcular cada combinação necessária:
- Calcular
. Usamos a fórmula de combinações . Assim,
- Calcular
:
- Calcular
:
- Numerador da fórmula:
Passo 4
Montar a probabilidade e simplificar a fração:
- Pela fórmula,
- Simplificamos a fração. Primeiro dividir por
:
- Depois dividir por
:
Portanto a forma fracionária simplificada é
.
Passo 5
Interpretação numérica e conclusão:
- Em forma decimal, usando vírgula como separador,
ou seja, aproximadamente
.
- Resumindo: há cerca de
de chance de o técnico, ao escolher amostras sem reposição, obter exatamente poluídas e em conformidade.