Exercício 8. Um laboratório de monitoramento ambiental recebeu um lote de 15 amostras de água de um mesmo rio. Sabe-se que, desse total, 6 amostras estão em conformidade com os padrões de qualidade e as outras 9 estão fora de conformidade (poluídas). Um técnico de laboratório irá selecionar aleatoriamente 4 amostras para uma análise química mais aprofundada. Qual é a probabilidade de que o técnico selecione exatamente 3 amostras poluídas e 1 amostra em conformidade?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • Há um total de 15 amostras.
  • Destas, 6 estão em conformidade (não poluídas).
  • Destas, 9 estão poluídas.
  • O técnico seleciona aleatoriamente 4 amostras, sem reposição.
  • Pergunta: qual a probabilidade de obter exatamente 3 amostras poluídas e 1 amostra em conformidade?

Passo 2

Como pensar no problema (intuição e método):
  • Estamos escolhendo 4 amostras sem reposição de um total de 15. Quando a seleção é sem reposição e queremos a probabilidade de um certo número de sucessos (aqui: amostras poluídas) numa amostra fixa, usamos a distribuição hipergeométrica.
  • A fórmula geral da hipergeométrica é
P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\,\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}},
onde:
  • N é o total de itens disponíveis (aqui N=15),
  • K é o número de itens “do tipo de interesse” no total (aqui poluídas, K=9),
  • n é o número de itens que vamos escolher (aqui n=4),
  • k é o número de itens do tipo de interesse que queremos na seleção (aqui k=3),
  • \binom{a}{b} é o número de combinações de escolher b itens dentre a.
  • Interpretação da fórmula: o numerador conta de quantas maneiras podemos escolher k poluídas entre as K poluídas e escolher n-k conformes entre as N-K conformes; o denominador é o total de maneiras de escolher n amostras dentre N.

Passo 3

Calcular cada combinação necessária:
  • Calcular \binom{9}{3}. Usamos a fórmula de combinações \binom{a}{b}=\dfrac{a(a-1)\cdots(a-b+1)}{b!}. Assim,
\binom{9}{3}=\frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1}= \frac{504}{6}=84.
  • Calcular \binom{6}{1}:
\binom{6}{1}=6.
  • Calcular \binom{15}{4}:
\binom{15}{4}=\frac{15\cdot14\cdot13\cdot12}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{32760}{24}=1365.
  • Numerador da fórmula:
\binom{9}{3}\binom{6}{1}=84\cdot6=504.

Passo 4

Montar a probabilidade e simplificar a fração:
  • Pela fórmula,
P(X=3)=\frac{504}{1365}.
  • Simplificamos a fração. Primeiro dividir por 3:
\frac{504}{1365}=\frac{168}{455}.
  • Depois dividir por 7:
\frac{168}{455}=\frac{24}{65}.
Portanto a forma fracionária simplificada é \dfrac{24}{65}.

Passo 5

Interpretação numérica e conclusão:
  • Em forma decimal, usando vírgula como separador,
\frac{24}{65}\approx 0,36923,
ou seja, aproximadamente 36,923\%.
  • Resumindo: há cerca de 37\% de chance de o técnico, ao escolher 4 amostras sem reposição, obter exatamente 3 poluídas e 1 em conformidade.

Resposta

\dfrac{24}{65}\approx0,36923

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