Exercício 11. Em uma estação de tratamento de água, existem dois sistemas críticos de bombeamento que operam em paralelo. Vamos chamá-los de Bomba 1 e Bomba 2. A probabilidade de a Bomba 1 falhar em um dia chuvoso é de 10 \%. A probabilidade de a Bomba 2 falhar sob as mesmas condições é de 8 \%. Devido a sobrecargas na rede elétrica comum, a probabilidade de ambas as bombas falharem simultaneamente em um dia chuvoso é de 3 \%. Se a estação de tratamento para de operar caso pelo menos uma das bombas falhe, qual é a probabilidade de a estação parar em um dia chuvoso?

Passo 1

O enunciado dá informações sobre falhas de duas bombas em um dia chuvoso e pergunta a probabilidade de a estação parar. Informações fornecidas (vou listar exatamente o que o enunciado deu):
  • Probabilidade da Bomba 1 falhar: 10\%.
  • Probabilidade da Bomba 2 falhar: 8\%.
  • Probabilidade das duas falharem simultaneamente: 3\%.
    Pergunta a responder:
  • Qual é a probabilidade de a estação de tratamento parar em um dia chuvoso, sabendo que a estação para se pelo menos uma das bombas falhar?

Passo 2

Definição dos eventos (isso facilita a escrita das fórmulas):
  • Seja A o evento “Bomba 1 falha”.
  • Seja B o evento “Bomba 2 falha”.
    O enunciado diz que a estação para se pelo menos uma bomba falhar, ou seja, o evento “estações para” é A \cup B (união de A e B). Portanto queremos calcular P(A \cup B).

Passo 3

Fórmula básica que vamos usar (explicação didática):
Quando queremos a probabilidade de que ocorra A ou B (ou ambos), usamos a fórmula de adição para dois eventos:
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Por que essa fórmula? Porque se somarmos P(A)+P(B) contamos duas vezes a parte em que ambos ocorrem ( A\cap B). Então subtraímos P(A\cap B) para corrigir essa dupla contagem. Pense num diagrama de Venn: a interseção aparece em ambas as somas, por isso precisa ser removida uma vez.

Passo 4

Vamos colocar os números dados na fórmula. Primeiro transformo as percentagens em probabilidades decimais (uso vírgula como separador decimal):
  • P(A)=0,10 (que é 10\%),
  • P(B)=0,08 (que é 8\%),
  • P(A\cap B)=0,03 (que é 3\%).
    Agora aplico a fórmula:
P(A\cup B)=0,10+0,08-0,03.

Passo 5

Faço as contas passo a passo (sem pular nada):
  • 0,10+0,08=0,18.
  • 0,18-0,03=0,15.
    Portanto P(A\cup B)=0,15.

Passo 6

Interpretação final em percentagem: 0,15 corresponde a 15\%. Uma checagem alternativa (pelo complemento) também confirma: a probabilidade de as duas funcionarem é 1-P(A\cup B)=1-0,15=0,85 (ou 85\%), consistente com os números dados.

Resposta

15\%

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