Exercício 11. Em uma estação de tratamento de água, existem dois sistemas críticos de bombeamento que operam em paralelo. Vamos chamá-los de Bomba 1 e Bomba 2. A probabilidade de a Bomba 1 falhar em um dia chuvoso é de
. A probabilidade de a Bomba 2 falhar sob as mesmas condições é de
. Devido a sobrecargas na rede elétrica comum, a probabilidade de ambas as bombas falharem simultaneamente em um dia chuvoso é de
. Se a estação de tratamento para de operar caso pelo menos uma das bombas falhe, qual é a probabilidade de a estação parar em um dia chuvoso?
Passo 1
O enunciado dá informações sobre falhas de duas bombas em um dia chuvoso e pergunta a probabilidade de a estação parar. Informações fornecidas (vou listar exatamente o que o enunciado deu):
- Probabilidade da Bomba 1 falhar:
. - Probabilidade da Bomba 2 falhar:
. - Probabilidade das duas falharem simultaneamente:
.
Pergunta a responder: - Qual é a probabilidade de a estação de tratamento parar em um dia chuvoso, sabendo que a estação para se pelo menos uma das bombas falhar?
Passo 2
Definição dos eventos (isso facilita a escrita das fórmulas):
- Seja
o evento “Bomba 1 falha”. - Seja
o evento “Bomba 2 falha”.
O enunciado diz que a estação para se pelo menos uma bomba falhar, ou seja, o evento “estações para” é(união de e ). Portanto queremos calcular .
Passo 3
Fórmula básica que vamos usar (explicação didática):
Quando queremos a probabilidade de que ocorra ou
(ou ambos), usamos a fórmula de adição para dois eventos:
Quando queremos a probabilidade de que ocorra
Por que essa fórmula? Porque se somarmos
contamos duas vezes a parte em que ambos ocorrem (
). Então subtraímos
para corrigir essa dupla contagem. Pense num diagrama de Venn: a interseção aparece em ambas as somas, por isso precisa ser removida uma vez.
Passo 4
Vamos colocar os números dados na fórmula. Primeiro transformo as percentagens em probabilidades decimais (uso vírgula como separador decimal):
-
(que é ), -
(que é ), -
(que é ).
Agora aplico a fórmula:
Passo 5
Faço as contas passo a passo (sem pular nada):
-
. -
.
Portanto.
Passo 6
Interpretação final em percentagem:
corresponde a
. Uma checagem alternativa (pelo complemento) também confirma: a probabilidade de as duas funcionarem é
(ou
), consistente com os números dados.