Exercício 5. Uma agência ambiental analisa amostras de solo de uma área industrial para verificar a presença de dois contaminantes principais: chumbo (Pb) e mercúrio (Hg). A partir de dados históricos, sabe-se que a probabilidade de uma amostra aleatória conter níveis de chumbo acima do permitido é de
. A probabilidade de conter níveis de mercúrio acima do permitido é de
. Além disso, a probabilidade de conter ambos os contaminantes acima do limite é de
. Qual é a probabilidade de uma amostra de solo selecionada ao acaso estar contaminada com pelo menos um desses metais, ou seja, com chumbo ou mercúrio?
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que uma amostra de solo esteja contaminada com pelo menos um dos metais: chumbo ou mercúrio (ou ambos).\n
Informações dadas no enunciado:
Informações dadas no enunciado:
Passo 2
Vamos definir eventos para ficar claro e simples de trabalhar:\n
Usando os dados do enunciado temos:
Passo 3
O que queremos é a probabilidade da união dos eventos
e
: a amostra ter pelo menos um dos contaminantes, isto é
.\n
Existe uma fórmula básica e muito útil para a probabilidade da união de dois eventos:
Existe uma fórmula básica e muito útil para a probabilidade da união de dois eventos:
Passo 4
Por que essa fórmula funciona? Explicando de forma intuitiva e evitando contar duas vezes:\n
-
conta todas as amostras com chumbo (inclui as que também têm mercúrio).\n -
conta todas as amostras com mercúrio (inclui as que também têm chumbo).\n
Se simplesmente somássemos, as amostras que têm ambos apareceriam duas vezes. Para corrigir isso subtraímos , que é precisamente a parte que foi contada duas vezes. É por isso que a fórmula tem o sinal de menos.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula com os números dados, mostrando cada conta passo a passo:\n
Primeiro somamos e
:
Primeiro somamos
Em seguida subtraímos
:
Portanto:
Passo 6
Interpretação final: a probabilidade de que uma amostra selecionada ao acaso esteja contaminada com pelo menos um dos metais (chumbo ou mercúrio) é
, ou seja
.\n
Você mandou bem chegando até aqui — essa fórmula de união é prática e cai direto em prova. Se quiser, faço um exemplo numérico com 100 amostras pra visualizar melhor.
Você mandou bem chegando até aqui — essa fórmula de união é prática e cai direto em prova. Se quiser, faço um exemplo numérico com 100 amostras pra visualizar melhor.