Exercício 5. Uma agência ambiental analisa amostras de solo de uma área industrial para verificar a presença de dois contaminantes principais: chumbo (Pb) e mercúrio (Hg). A partir de dados históricos, sabe-se que a probabilidade de uma amostra aleatória conter níveis de chumbo acima do permitido é de 25 \%. A probabilidade de conter níveis de mercúrio acima do permitido é de 18 \%. Além disso, a probabilidade de conter ambos os contaminantes acima do limite é de 7 \%. Qual é a probabilidade de uma amostra de solo selecionada ao acaso estar contaminada com pelo menos um desses metais, ou seja, com chumbo ou mercúrio?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que uma amostra de solo esteja contaminada com pelo menos um dos metais: chumbo ou mercúrio (ou ambos).\n
Informações dadas no enunciado:
P(\text{chumbo acima do permitido}) = 25\%,
P(\text{mercúrio acima do permitido}) = 18\%,ú
P(\text{ambos acima do permitido}) = 7\%.

Passo 2

Vamos definir eventos para ficar claro e simples de trabalhar:\n
A = \{\text{amostra contém chumbo acima do permitido}\},é
B = \{\text{amostra contém mercúrio acima do permitido}\}.éú\n
Usando os dados do enunciado temos:
P(A)=0,25,\quad P(B)=0,18,\quad P(A\cap B)=0,07.

Passo 3

O que queremos é a probabilidade da união dos eventos A e B: a amostra ter pelo menos um dos contaminantes, isto é A\cup B.\n
Existe uma fórmula básica e muito útil para a probabilidade da união de dois eventos:
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).

Passo 4

Por que essa fórmula funciona? Explicando de forma intuitiva e evitando contar duas vezes:\n
  • P(A) conta todas as amostras com chumbo (inclui as que também têm mercúrio).\n
  • P(B) conta todas as amostras com mercúrio (inclui as que também têm chumbo).\n
    Se simplesmente somássemos P(A)+P(B), as amostras que têm ambos apareceriam duas vezes. Para corrigir isso subtraímos P(A\cap B), que é precisamente a parte que foi contada duas vezes. É por isso que a fórmula tem o sinal de menos.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula com os números dados, mostrando cada conta passo a passo:\n
Primeiro somamos P(A) e P(B):
0,25 + 0,18 = 0,43.\n
Em seguida subtraímos P(A\cap B):
0,43 - 0,07 = 0,36.\n
Portanto:
P(A\cup B)=0,36.

Passo 6

Interpretação final: a probabilidade de que uma amostra selecionada ao acaso esteja contaminada com pelo menos um dos metais (chumbo ou mercúrio) é .36, ou seja 36\%.\n
Você mandou bem chegando até aqui — essa fórmula de união é prática e cai direto em prova. Se quiser, faço um exemplo numérico com 100 amostras pra visualizar melhor.

Resposta

0,36 (ou 36\%)

Exercícios relacionados