Exercício 10 Em cada item abaixo, determine o maior subconjunto de
onde a função
em questão é contínua
Passo 1
O enunciado pede: determinar o maior subconjunto de
onde a função abaixo é contínua.
A função dada é
A função dada é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A fórmula explícita de
. - O domínio natural de
depende dos zeros do denominador .
O objetivo final é escrever o maior subconjunto de(ou seja, o domínio) onde seja contínua.
Passo 2
Encontrar onde a função pode falhar em ser contínua: pontos onde o denominador é zero. Vamos resolver a equação
Para isso calculamos o discriminante
:
As raízes são dadas por
Portanto as raízes são
e
Passo 3
Como o denominador se anula em
e em
, a função
não está definida nesses dois pontos. Logo o domínio natural (conjunto de definição) de
é
Passo 4
Agora vamos justificar por que
é contínua em todo ponto do domínio encontrado. Relembrando a definição:
é contínua em
se
Propriedade útil: polinômios são contínuos em todo
. Além disso, se
e
são funções contínuas em
e
, então a função quociente
é contínua em
, porque
Passo 5
Aplicando essa propriedade ao nosso caso: o numerador
e o denominador
são polinômios, logo são contínuos em todo ponto
. Para qualquer
tal que
(ou seja,
e
), vale
Portanto
é contínua em todo ponto do seu domínio.
Passo 6
Conclusão: o maior subconjunto de
onde
é contínua é exatamente o domínio da função, que exclui os pontos onde o denominador é zero.