Exercício 10 Em cada item abaixo, determine o maior subconjunto de mathbb{R} onde a função f em questão é contínua
f(x)=\frac{3 x-5}{2 x^{2}-x-3}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o maior subconjunto de \mathbb{R} onde a função abaixo é contínua.
A função dada é
f(x)=\frac{3x-5}{2x^{2}-x-3}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A fórmula explícita de f(x).
  • O domínio natural de f depende dos zeros do denominador 2x^{2}-x-3.
    O objetivo final é escrever o maior subconjunto de \mathbb{R} (ou seja, o domínio) onde f seja contínua.

Passo 2

Encontrar onde a função pode falhar em ser contínua: pontos onde o denominador é zero. Vamos resolver a equação
2x^{2}-x-3=0.
Para isso calculamos o discriminante \Delta:
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot 2\cdot(-3)=1+24=25.
As raízes são dadas por
x=\frac{1\pm\sqrt{\Delta}}{2\cdot 2}=\frac{1\pm 5}{4}.
Portanto as raízes são
x=\frac{1+5}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}
e
x=\frac{1-5}{4}=\frac{-4}{4}=-1.

Passo 3

Como o denominador se anula em x=-1 e em x=\tfrac{3}{2}, a função f não está definida nesses dois pontos. Logo o domínio natural (conjunto de definição) de f é
\mathbb{R}\setminus\left\{-1,\tfrac{3}{2}\right\}.

Passo 4

Agora vamos justificar por que f é contínua em todo ponto do domínio encontrado. Relembrando a definição: f é contínua em a se
\lim_{x\to a}f(x)=f(a).
Propriedade útil: polinômios são contínuos em todo \mathbb{R}. Além disso, se g e h são funções contínuas em a e h(a)\neq 0, então a função quociente g/h é contínua em a, porque
\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{\lim_{x\to a}g(x)}{\lim_{x\to a}h(x)}=\frac{g(a)}{h(a)}.

Passo 5

Aplicando essa propriedade ao nosso caso: o numerador 3x-5 e o denominador 2x^{2}-x-3 são polinômios, logo são contínuos em todo ponto a\in\mathbb{R}. Para qualquer a tal que 2a^{2}-a-3\neq 0 (ou seja, a\neq -1 e a\neq \tfrac{3}{2}), vale
\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}\frac{3x-5}{2x^{2}-x-3}=\frac{\lim_{x\to a}(3x-5)}{\lim_{x\to a}(2x^{2}-x-3)}=\frac{3a-5}{2a^{2}-a-3}=f(a).
Portanto f é contínua em todo ponto do seu domínio.

Passo 6

Conclusão: o maior subconjunto de \mathbb{R} onde f é contínua é exatamente o domínio da função, que exclui os pontos onde o denominador é zero.

Resposta

\mathbb{R}\setminus\left\{-1,\tfrac{3}{2}\right\}

Exercícios relacionados