Exercício 9. Seja A=\left(a_{i j}\right) \in M_{4}(\mathbb{R}) a matriz definida por
a_{i j}=(-1)^{i+j} i j
Mostre que |A|=0.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz A=\left(a_{ij}\right)\in M_{4}(\mathbb{R}) com entradas
a_{ij}=(-1)^{i+j}\, i\, j,
para i,j\in\{1,2,3,4\}. A pergunta é: mostrar que |A|=0 (ou seja, o determinante de A é zero).
Informações relevantes fornecidas:
A matriz é 4\times4.
Cada entrada é produto de fatores que dependem separadamente de i e de j com um sinal (-1)^{i+j}.
Passo 2
Observar que o sinal (-1)^{i+j} se separa como (-1)^i(-1)^j. Assim podemos reescrever cada entrada como produto de algo que depende só de i por algo que depende só de j:
(Observe que x e y têm componentes idênticas aqui; isso não é necessário para o argumento geral, apenas acontece neste caso.)]
Passo 3
Explicar o produto externo (outer product): dado um vetor coluna x\in\mathbb{R}^4 e um vetor coluna y\in\mathbb{R}^4, o produto x y^{T} é a matriz B de ordem 4 com entradas
b_{ij}=x_i\, y_j.
Comparando com a expressão de a_{ij} vemos que, para os vetores x,y definidos,
a_{ij}=x_i\, y_j,
logo
A = x\, y^{T}.
Isso significa que A é uma matriz dada por um produto externo de dois vetores.
Passo 4
Consequência do item anterior: cada coluna c_j de A é c_j = y_j\, x. Ou seja, todas as colunas são múltiplos escalares do mesmo vetor x. Em particular, todas as colunas pertencem ao subespaço unidimensional gerado por x. Portanto as quatro colunas são linearmente dependentes (mais precisamente, têm dimensão de subespaço \le 1, certamente menor que 4).
Passo 5
Lembrar um fato fundamental sobre determinantes: uma matriz quadrada tem determinante zero se, e somente se, suas colunas (ou linhas) são linearmente dependentes. Outra forma de dizer: se a matriz não tem posto completo (aqui posto <4), então o determinante é 0. No nosso caso A=x y^{T} tem posto no máximo 1 (porque imagem está contida em \operatorname{span}\{x\}), logo o posto de A é menor que 4. Portanto o determinante de A deve ser zero.
Passo 6
Para dar uma demonstração prática rápida: como exemplo construtivo, como todas as colunas são múltiplos de x, escolhemos escalares \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4 não todos nulos tais que
Bastaria escolher os \lambda_j de modo que \lambda_1 y_1+\lambda_2 y_2+\lambda_3 y_3+\lambda_4 y_4=0 (isso sempre é possível com \lambda não todos nulos, por exemplo resolvendo um sistema homogêneo de 1 equação e 4 incógnitas). Assim há combinação linear não trivial das colunas que dá o vetor zero, confirmando linear dependência e portanto determinante zero.