Exercício 7. Mostre que se A tem uma línha ou uma coluna nula, então |A|=0.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dado: A é uma matriz quadrada n\times n.
  • Condição: A tem uma linha nula ou uma coluna nula. Ou seja, existe um índice i tal que todos os elementos da linha i são zero: a_{i1}=a_{i2}=\dots=a_{in}=0,ou existe um índice j tal que todos os elementos da coluna j são zero: a_{1j}=a_{2j}=\dots=a_{nj}=0.
  • Pergunta: mostrar que |A|=0.

Passo 2

Lembrando a fórmula de desenvolvimento de Laplace (expansão por uma linha): se escolhermos a linha i, então o determinante de A pode ser escrito como
|A|=\sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}\,a_{ij}\,|A_{ij}|.
Aqui:
  • a_{ij} é o elemento da matriz A na linha i e coluna j.
  • A_{ij} é a matriz obtida de A apagando a linha i e a coluna j (chamada menor de a_{ij}).
  • (-1)^{i+j}|A_{ij}| é o cofator correspondente ao elemento a_{ij}.
Explanação rápida dessa fórmula: o determinante é uma soma dos produtos de cada elemento de uma linha pelos cofatores correspondentes; isso é uma definição/identidade básica que se aprende ao definir determinante por Laplace.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso de uma linha nula. Suponha que a linha i seja nula, isto é \,a_{ij}=0 para todo j=1,\dots,n. Então cada termo da soma da expansão por essa linha contém um fator a_{ij}=0. Logo cada termo é zero, e a soma inteira é zero. Formalmente:
|A|=\sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}\,a_{ij}\,|A_{ij}|=\sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}\,0\cdot|A_{ij}|=0.

Passo 4

Aplicando a mesma ideia ao caso de uma coluna nula. Existe uma fórmula análoga de expansão por coluna: fixando a coluna j,
|A|=\sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}\,a_{ij}\,|A_{ij}|.
Se a coluna j é nula, então a_{ij}=0 para todo i. Novamente cada termo da soma é zero, portanto a soma inteira vale zero:
|A|=\sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}\,0\cdot|A_{ij}|=0.

Passo 5

Uma observação alternativa (útil para compreensão): se uma linha é a linha zero então as linhas da matriz são linearmente dependentes (pois a combinação linear trivial com coeficiente 1 da linha nula dá o vetor zero). Há um fato importante sobre determinantes: se as linhas (ou colunas) são linearmente dependentes, então o determinante é zero. Isso dá uma outra razão — além da expansão — para o resultado. Mas a demonstração direta e elementar que usamos (expansão por linha/coluna) é suficiente e simples de aplicar na prova.

Passo 6

Exemplo concreto para fixar a ideia (matriz 3\times3). Seja
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}.
Fazendo a expansão por co-fatores na segunda linha (linha nula):
|A|=0\cdot C_{21}+0\cdot C_{22}+0\cdot C_{23}=0+0+0=0,
onde C_{2j}=(-1)^{2+j}|A_{2j}| são os cofatores. Isso mostra de modo bem concreto como cada termo desaparece porque os a_{2j} são zeros.]

Passo 7

Resumo do raciocínio: expandindo o determinante ao longo da linha nula (ou da coluna nula) cada termo da expansão tem um fator zero, portanto a soma é zero. Assim se A tem uma linha ou coluna nula o determinante de A vale zero.

Resposta

|A|=0

Exercícios relacionados