Exercício 1.10. Calcule a série de Fourier das seguintes funções:
.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período
que é claramente uma “janela” retangular centrada em zero. O conteúdo envolve séries de Fourier de período (2L] e usaremos as fórmulas para os coeficientes

Passo 2

Calculamos primeiro
a0=1Lintegral-L^Lf(x),dx
Como f(x)=1 só em [-tfracL2,tfracL2],
integral-L^Lf(x),dx=integral-L/2^L/21,dx=L,
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a0=1L,L=1 Longrightarrow a02=12

Passo 3

A função é par, então bn=0 e
an=1Lintegral-L^Lf(x)cos!l(tfracnpi xLr),dx = 2Lintegral0^L/2cos!l(tfracnpi xLr),dx
Fazendo a integral:
integral0^L/2cos!l(tfracnpi xLr),dx =Lnpisin!l(tfracnpi xLr)|0^L/2 =Lnpisin!l(tfracnpi2r)
Portanto
an=2LcdotLnpisin!l(tfracnpi2r) =2npisin!l(tfracnpi2r)

Passo 4

Observamos que sin!l(tfracnpi2r)=0 para n par, e vale (-1)^m quando n=2m+1. Logo só há termos de cosseno de ordem ímpar.

Passo 5

Reunindo tudo, a série de Fourier fica
f(x) =a02+sumn=1^inftyancos!l(tfracnpi xLr) =12 +sumn=1^infty2npisin!l(tfracnpi2r), cos!l(tfracnpi xLr)

Passo 6

Expressando só os ímpares n=2m+1, onde sin!l(tfrac(2m+1)pi2r)=(-1)^m,
f(x) =12 +summ=0^infty2(2m+1)pi(-1)^m cos!l(tfrac(2m+1)pi xLr)

Resposta

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