Exercício 1.18. Prove a seguinte fórmula devida a Kronecker. Se
é uma função contínua e
é um polinômio de grau
, então
onde
é uma constante,
são as primeiras
derivadas de
é uma antiderivada de
, e para
é uma antiderivada de
.
(a) Use esta fórmula para calcular as seguintes integrais para
:
(b) Calcule a série de Fourier para a função
de período
definida por
se
.
(a) Use esta fórmula para calcular as seguintes integrais para
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro, provar a fórmula de Kronecker, que é basicamente o resultado de aplicar integração por partes repetidamente: se
é polinômio de grau
e
é contínua, então
onde
,
, etc. Em seguida (a) usar essa fórmula para calcular
e
para
, e (b) obter a série de Fourier de período
de
em
.
Conteúdo principal: integração por partes repetida e séries de Fourier para funções pares.
Passo 2
Prova da fórmula de Kronecker por indução em
.
Base :
é constante, digamos
. Então
Base
e não há mais termos.
Passo indutivo: suponha válida para grau
. Seja
de grau
. Aplicamos uma vez integração por partes a
.
Por hipótese de indução,
Por hipótese de indução,
Substituindo em
obtém-se exatamente
que reorganiza-se no enunciado. Assim a fórmula vale para todo
.
Passo 3
Identificamos
(ou
).
Então
Então
e assim por diante, alternando sinais e
.
Para
, temos
e
para
.
Passo 4
A fórmula geral dá
Para obter a integral definida de
a
, basta avaliar esse antiderivado em
e
. Note que em
todos os termos contêm fatores
ou
, então só contribui a avaliação em
.
Passo 5
Cálculo para
:
Passo 6
Cálculo para
:
Passo 7
Cálculo para
:
Passo 8
Cálculo para
:
Passo 9
Para a série de Fourier de
em
, sabemos que
é par, logo só há cossenos.
Constante :
Constante
portanto o termo constante é
.
Coeficientes
:
E
pois
é par.
Resposta
Para
temos, com
:
A série de Fourier de
em
é