Exercício 1.18. Prove a seguinte fórmula devida a Kronecker. Se f é uma função contínua e p é um polinômio de grau N, então
integral p f=p f1-p^prime f2+p^prime prime f3-ldots+(-1)^N p^(N) fN+1+C
onde C é uma constante, p, p^prime, p^prime prime, ldots, p^(N) são as primeiras N derivadas de p, f1 é uma antiderivada de f, e para k=1, ldots, N, fk+1 é uma antiderivada de fk.
(a) Use esta fórmula para calcular as seguintes integrais para N=1,2,3,4 :
integral0^pi x^N cos n x e integral0^pi x^N sen n x
(b) Calcule a série de Fourier para a função f de período 2 pi definida por f(x)=x^2 se -pi <= x <= pi.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, provar a fórmula de Kronecker, que é basicamente o resultado de aplicar integração por partes repetidamente: se p é polinômio de grau N e f é contínua, então
integral p(x),f(x),dx = p(x),f1(x)-p'(x),f2(x)+p''(x),f3(x)-cdots+(-1)^Np^(N)(x),fN+1(x)+C,
onde f1=integral f, f2=integral f1, etc. Em seguida (a) usar essa fórmula para calcular
integral0^pix^Ncos(nx),dx e integral0^pix^Nsin(nx),dx para N=1,2,3,4, e (b) obter a série de Fourier de período 2pi de f(x)=x^2 em [-pi,pi].
Conteúdo principal: integração por partes repetida e séries de Fourier para funções pares.

Passo 2

Prova da fórmula de Kronecker por indução em N.
Base N=0: p é constante, digamos p(x)=a. Então
integral a,f(x),dx = aintegral f(x),dx = p(x),f1(x) + C,
e não há mais termos.
Passo indutivo: suponha válida para grau N-1. Seja p de grau N. Aplicamos uma vez integração por partes a
integral p,f = p,f1 - integral p',f1.
Por hipótese de indução,
integral p',f1 = p',f2 - p'',f3 + cdots + (-1)^N-1p^(N),fN+1 + C
Substituindo em integral p,f obtém-se exatamente
p,f1 -l(p',f2 - p'',f3 + cdots+(-1)^N-1p^(N),fN+1r) + C
que reorganiza-se no enunciado. Assim a fórmula vale para todo N.

Passo 3

Identificamos f(x)=cos(nx) (ou sin(nx)).
Então
f1(x)=integral cos(nx),dx = tfrac1nsin(nx), f2(x)=integral f1=integral tfrac1nsin(nx),dx = -tfrac1n^2cos(nx),
f3(x)= -tfrac1n^3sin(nx), f4(x)= tfrac1n^4cos(nx), f5(x)= tfrac1n^5sin(nx),
e assim por diante, alternando sinais e sin!/,cos.
Para p(x)=x^N, temos
p'(x)=N x^N-1,; p''(x)=N(N-1)x^N-2,;dots,; p^(N)(x)=N!
e p^(k)=0 para k>N.

Passo 4

A fórmula geral dá
integral x^Ncos(nx),dx = x^N,f1 - N x^N-1,f2 + N(N-1)x^N-2,f3 - cdots + (-1)^N N!,fN+1 + C
Para obter a integral definida de 0 a pi, basta avaliar esse antiderivado em x=pi e x=0. Note que em x=0 todos os termos contêm fatores sin(0)=0 ou 0^k, então só contribui a avaliação em pi.

Passo 5

Cálculo para N=1:
integral0^pixcos(nx),dx = l[x,tfrac1nsin(nx) -1cdottfrac1n^2sin(nx)r]0^pi = 1n^2l((-1)^n -1r)
integral0^pixsin(nx),dx = l[-x,tfrac1ncos(nx)+tfrac1n^2cos(nx)r]0^pi = 1n^2l(1-(-1)^nr)

Passo 6

Cálculo para N=2:
integral0^pix^2cos(nx),dx = l[x^2tfrac1nsin(nx)-2xtfrac-1n^2cos(nx)+2tfrac-1n^3sin(nx)r]0^pi = 2pi(-1)^nn^2
integral0^pix^2sin(nx),dx = l[-x^2tfrac1ncos(nx)+2xtfrac1n^2sin(nx)-2tfrac1n^3cos(nx)r]0^pi = 2pi(-1)^n+1n^2

Passo 7

Cálculo para N=3:
integral0^pix^3cos(nx),dx = 6pi(-1)^nn^2-6(-1)^nn^4, integral0^pix^3sin(nx),dx = 6pi(-1)^n+1n^2-6(-1)^n+1n^4

Passo 8

Cálculo para N=4:
integral0^pix^4cos(nx),dx = 24pi(-1)^nn^2-24(-1)^nn^4, integral0^pix^4sin(nx),dx = 24pi(-1)^n+1n^2-24(-1)^n+1n^4

Passo 9

Para a série de Fourier de f(x)=x^2 em [-pi,pi], sabemos que f é par, logo só há cossenos.
Constante a0:
a0 = 1piintegral-pi^pix^2,dx = 2piintegral0^pix^2,dx = 2pi,pi^33 = 2pi^23,
portanto o termo constante é a0/2=pi^2/3.
Coeficientes an:
an = 1piintegral-pi^pix^2cos(nx),dx = 2piintegral0^pix^2cos(nx),dx = 2picdot2pi(-1)^nn^2 = 4(-1)^nn^2
E bn=0 pois x^2 é par.

Resposta

Para N=1,2,3,4 temos, com n>=1:
integral0^pixcos(nx),dx=(-1)^n-1n^2, integral0^pixsin(nx),dx=1-(-1)^nn^2,
integral0^pix^2cos(nx),dx=2pi(-1)^nn^2, integral0^pix^2sin(nx),dx=2pi(-1)^n+1n^2,
integral0^pix^3cos(nx),dx=6pi(-1)^nn^2-6(-1)^nn^4, integral0^pix^3sin(nx),dx=6pi(-1)^n+1n^2-6(-1)^n+1n^4,
integral0^pix^4cos(nx),dx=24pi(-1)^nn^2-24(-1)^nn^4,;; integral0^pix^4sin(nx),dx=24pi(-1)^n+1n^2-24(-1)^n+1n^4
A série de Fourier de f(x)=x^2 em [-pi,pi] é
x^2 = pi^23 + sumn=1^infty 4(-1)^nn^2,cos(nx)

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