Exercício 1.10. Calcule a série de Fourier das seguintes funções:
.

Passo 1

O enunciado dá a função periódica de período
e pede a série de Fourier. Vamos usar as fórmulas gerais para coeficientes de uma função de período (2L]:

Passo 2

Como f(x)=0 em [-L,0) e f(x)=x^2 em (0,L),
integral-L^Lf(x),dx=integral0^Lx^2,dx=L^33
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a0=1LcdotL^33=L^23

Passo 3

Para n>=1,
an=1Lintegral0^Lx^2cosl(npi xLr),dx
Fazendo duas integrações por partes (tomando u=x^2, dv=cos(ax)dx com a=npiL), chega-se a
integral0^Lx^2cos(ax),dx =2L^3(-1)^nn^2pi^2
Portanto
an=1Lcdot2L^3(-1)^nn^2pi^2 =2L^2(-1)^nn^2pi^2

Passo 4

Ainda para n>=1,
bn=1Lintegral0^Lx^2sinl(npi xLr),dx
Novamente por partes chega-se a
integral0^Lx^2sin(ax),dx =L^3l[(-1)^n(2 - n^2pi^2)-2r]n^3pi^3,
de onde
bn =1LcdotL^3l[(-1)^n(2 - n^2pi^2)-2r]n^3pi^3 =L^2l[(-1)^n(2 - n^2pi^2)-2r]n^3pi^3

Passo 5

A série de Fourier geral é
f(x)=a02 +sumn=1^inftyl(ancos!tfracnpi xL+bnsin!tfracnpi xLr)
Substituindo os coeficientes:
f(x) =L^26 +sumn=1^inftygl[ 2L^2(-1)^nn^2pi^2cos!l(tfracnpi xLr) +L^2l[(-1)^n(2 - n^2pi^2)-2r]n^3pi^3sin!l(tfracnpi xLr) gr]

Resposta

boxed f(x) =L^26 +sumn=1^infty! gl(2L^2(-1)^nn^2pi^2cosnpi xL +L^2l[(-1)^n(2 - n^2pi^2)-2r]n^3pi^3sinnpi xLgr)

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