Exercício 1.10. Calcule a série de Fourier das seguintes funções:
.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período
que é uma “tríade” triangular centrada em , saber investigar a paridade de e calcular as integrais dos coeficientes e .]

Passo 2

Observe que para xin[0,a] temos
f(x)=-ca(x-a),
então
f(-x)=ca(-x+a) =-ca(x-a)=f(x)
Logo f é par e todos os termos de seno desaparecem:
Bn=0(n>=1)

Passo 3

O coeficiente A0 é dado por
A0=1bintegral-b^b f(x),dx
e, como f é par e vale zero em [a,b], basta
integral-b^b f(x),dx =2integral0^a f(x),dx =2integral0^al(-ca(x-a)r)dx
Calculando
integral0^a(x-a),dx =l[tfracx^22-axr]0^a =a^22-a^2=-a^22,
vem
integral-b^b f(x),dx =2l(-tfraccar)l(-a^22r) =ca Longrightarrow A0=cab

Passo 4

Os coeficientes das cossenos são
An =1bintegral-b^b f(x)cos!l(tfracnpi xbr),dx = 2bintegral0^al(-ca(x-a)r)cos!l(tfracnpi xbr),dx
Chame k=tfracnpib. Então
An =-2cabintegral0^a(x-a)cos(kx),dx

Passo 5

Calcule
I=integral0^a(x-a)cos(kx),dx
Use
integral xcos(kx),dx=xsin(kx)k+cos(kx)k^2, integralcos(kx),dx=sin(kx)k
Logo
I =l[xsin(kx)k+cos(kx)k^2r]0^a -al[sin(kx)kr]0^a =cos(ka)-1k^2 =-2sin^2!l(tfracka2r)k^2

Passo 6

Substituindo em An, com k^2=(npi/b)^2, obtemos
An =-2cab,l(-2sin^2(tfracnpi a2b)k^2r) =4cab,sin^2!l(tfracnpi a2br)(npi/b)^2 =4bca,n^2pi^2,sin^2!l(npi a2br)

Resposta

A série de Fourier de f é
f(x) =A02 +sumn=1^inftyAncos!l(npi xbr),
onde
A0=cab, An =4bca,n^2pi^2,sin^2!l(npi a2br), Bn=0;(n>=1)

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