(Valor: 2,0) Utilize a fórmula deduzida a partir de soma de Riemann para calcular a área da região limitada pela curva
l x=3 cos (t) y=3 sen(t)

Passo 1

O enunciado pede a área da região fechada pela curva paramétrica
x=3cos(t), y=3sin(t),
com t variando de 0 a 2pi. O conteúdo é cálculo de área por integral de linha deduzida de somas de Riemann.

Passo 2

A fórmula deduzida a partir de somas de Riemann para a área A de uma curva fechada orientada positivamente é
A = 12 integrala^bl(x(t),y'(t) - y(t),x'(t)r),dt
Aqui temos a=0 e b=2pi.

Passo 3

Calculamos as derivadas de x(t) e y(t):
x(t)=3cos(t)implies x'(t)=-3sin(t),
y(t)=3sin(t)implies y'(t)=3cos(t)

Passo 4

Formamos o integrando
x(t),y'(t) - y(t),x'(t) = l(3cos tr)l(3cos tr) - l(3sin tr)l(-3sin tr) =9cos^2t + 9sin^2t =9

Passo 5

Substituímos na integral de 0 a 2pi:
A = 12 integral0^2pi 9,dt = 92 l[tr]0^2pi = 92 cdot 2pi =9pi

Resposta

A área da região é 9pi.

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