Exercício 10: Calcule o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas x=y^2-4 y+5, x=0, y=0 e y=3 em torno do eixo y.
V=pi integral0^3((y^2-4 y+5)^2) d y

Passo 1

O enunciado pede o volume gerado pela rotação da região limitada por x=y²−4y+5, x=0, y=0 e y=3 em torno do eixo y. O conteúdo envolve volume de revolução pelo método dos discos (ou cilindros), em que usamos a fórmula V=π ∫[a→b] (f(y))² dy, com f(y)=y²−4y+5.

Passo 2

Primeiro precisamos simplificar o integrando elevando ao quadrado a expressão f(y)=y²−4y+5. Calculamos:
(y^2 - 4y + 5)^2 = y^4 - 8y^3 + 26y^2 - 40y + 25

Passo 3

Agora montamos a integral de volume substituindo o polinômio expandido:
V = pi integral0^3 l(y^4 - 8y^3 + 26y^2 - 40y + 25r) dy

Passo 4

Integramos termo a termo sabendo que ∫y^n dy = y^{n+1}/(n+1):
integrall(y^4 - 8y^3 + 26y^2 - 40y + 25r) dy = y^55 - 2y^4 + 26y^33 - 20y^2 + 25y + C

Passo 5

Agora avaliamos de y=0 a y=3:
[y^55 - 2y^4 + 26y^33 - 20y^2 + 25y]0^3 = 3^55 - 2cdot3^4 + 26cdot3^33 - 20cdot3^2 + 25cdot3

Passo 6

Calculando cada termo com y=3:
2435 - 162 + 234 - 180 + 75 = 2435 - 33 = 785 Multiplicando por π, obtemos o volume final.

Resposta

\frac{78\pi}{5}

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