Exercício 10: Calcule o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede o volume gerado pela rotação da região limitada por x=y²−4y+5, x=0, y=0 e y=3 em torno do eixo y. O conteúdo envolve volume de revolução pelo método dos discos (ou cilindros), em que usamos a fórmula V=π ∫[a→b] (f(y))² dy, com f(y)=y²−4y+5.
Passo 2
Primeiro precisamos simplificar o integrando elevando ao quadrado a expressão f(y)=y²−4y+5. Calculamos:
Passo 3
Agora montamos a integral de volume substituindo o polinômio expandido:
Passo 4
Integramos termo a termo sabendo que ∫y^n dy = y^{n+1}/(n+1):
Passo 5
Agora avaliamos de y=0 a y=3:
Passo 6
Calculando cada termo com y=3:
Resposta
\frac{78\pi}{5}