Contexto: A receita de uma empresa é modelada pela função R(x)=10 xx^2+4 x+4, onde x é o número de unidades vendidas.
Pergunta: Calcule a receita total gerada de 1 a 10 unidades vendidas.
integral1^10 10 xx^2+4 x+4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a receita total gerada ao vender de 1 a 10 unidades, modelada pela integral integral1^10 10xx^2+4x+4,dx. O conteúdo aqui é integração de função racional, usando decomposição e o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Observamos que o denominador se factoriza completando quadrado: x^2+4x+4=(x+2)^2. Então reescrevemos a integral como
integral1^1010x(x+2)^2,dx,

Passo 3

Para facilitar a integração, separamos o numerador: escrevemos x=(x+2)-2. Assim,
10x(x+2)^2=10cdot(x+2)-2(x+2)^2=10x+2-20(x+2)^2

Passo 4

Agora integramos cada termo separadamente. Uma primitiva é
$$F(x)=10\int\frac{1}{x+2},dx-20\int\frac{1}{(x+2)^2},dx=10\ln|x+2|+20,
\frac{1}{x+2}+C.$$

Passo 5

Finalmente, pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
integral1^1010xx^2+4x+4,dx=F(10)-F(1)=10l(ln(12)-ln(3)r)+l(tfrac53-tfrac203r)

Resposta

10ln(4)-5

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