Exercício 15: Encontre o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y=x^2 e y=x+1, no intervalo x=0 até x=1, em torno do eixo x.
V=pi integral0^1((x+1)^2-(x^2)^2) d x

Passo 1

A região é a área entre as curvas y=x² (embaixo) e y=x+1 (em cima) para 0≤x≤1, que vamos girar em torno do eixo x. O conteúdo é cálculo de volume por método dos discos (ou anéis), usando a fórmula V=π∫[R²−r²]dx.

Passo 2

No método dos anéis, o raio externo R(x) é a função de cima e o raio interno r(x) é a de baixo. Aqui temos R(x)=x+1 e r(x)=x², logo
R(x)^2=(x+1)^2
r(x)^2=(x^2)^2=x^4

Passo 3

Assim o volume fica
V=piintegral0^1l((x+1)^2 - x^4r)dx Precisamos expandir o integrando: (x+1)^2 - x^4 = (x^2+2x+1) - x^4 = -x^4 + x^2 + 2x + 1

Passo 4

Agora integramos termo a termo de 0 a 1:
integral0^1(-x^4 + x^2 +2x +1)dx = l[-x^55 + x^33 + x^2 + xr]0^1

Passo 5

Avaliando em 1 e subtraindo o valor em 0:
-15 + 13 + 1 + 1 = -15 + 13 + 2 Somando as frações: 2 = 6030, ; 13=1030, ; -15=-630 implies 60+10-630=6430=3215

Resposta

V = \frac{32\pi}{15}

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