Exercício 15: Encontre o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
e
, no intervalo
até
, em torno do eixo
.
Passo 1
A região é a área entre as curvas y=x² (embaixo) e y=x+1 (em cima) para 0≤x≤1, que vamos girar em torno do eixo x. O conteúdo é cálculo de volume por método dos discos (ou anéis), usando a fórmula V=π∫[R²−r²]dx.
Passo 2
No método dos anéis, o raio externo R(x) é a função de cima e o raio interno r(x) é a de baixo. Aqui temos R(x)=x+1 e r(x)=x², logo
Passo 3
Assim o volume fica
Passo 4
Agora integramos termo a termo de 0 a 1:
Passo 5
Avaliando em 1 e subtraindo o valor em 0:
Resposta
V = \frac{32\pi}{15}