Exercício 3.10: Um compressor comprime adiabaticamente 10 \mathrm{~m}^{3} de ar à temperatura ambiente de 25^{\circ} \mathrm{C}. Qual será a temperatura do ar comprimido quando o volume ficar reduzido a 2 \mathrm{~m}^{3}. Admitir que o índice de compressão seja \mathrm{n}=1,40.
Dados: V_{1}=10 \mathrm{~m}^{3} ; T_{1}=25+273=298 \mathrm{~K} ; V_{2}=2 \mathrm{~m}^{3} ; T_{2}= ?

Passo 1

O enunciado trata de comprimir adiabaticamente um volume de ar de V_{1}=10\\ \mathrm{m}^{3} à temperatura inicial de T_{1}=25^\circ\mathrm{C}=298\\ \mathrm{K} até um volume final de V_{2}=2\\ \mathrm{m}^{3}. O enunciado fornece o índice de compressão politrópico n=1{,}40. Vamos usar a relação politrópica para gases ideais, que relaciona temperatura e volume durante a compressão.

Passo 2

Para um processo politrópico definido por
pV^n=\text{constante},
a relação entre temperatura e volume é
T V^{\,n-1}=\text{constante}.
Isso implica
\frac{T_{2}}{T_{1}} = \Bigl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\Bigr)^{\,n-1}.

Passo 3

Isolando T_{2}, temos
T_{2} = T_{1} \Bigl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\Bigr)^{\,n-1}.
Substituindo T_{1}=298\\ \mathrm{K}, V_{1}=10\\ \mathrm{m}^{3}, V_{2}=2\\ \mathrm{m}^{3} e n=1{,}40, obtemos
T_{2} = 298 \Bigl(\frac{10}{2}\Bigr)^{\,1{,}40-1} = 298 \Bigl(5\Bigr)^{0{,}40}.

Passo 4

Calculamos a potência:
5^{0{,}40} = \exp\bigl(0{,}40\ln5\bigr) \approx \exp(0{,}40\times1{,}6094) \approx \exp(0{,}6438) \approx1{,}903.
Logo
T_{2}\approx298\times1{,}903\approx567\\ \mathrm{K}.

Resposta

A temperatura do ar comprimido será aproximadamente T_{2}=567\\ \mathrm{K} (cerca de 294^\circ\mathrm{C}).

Exercícios relacionados