Exercício 10. Considere as funções f(x)=log 2(raiz[3]x) e g(x)=-x^2+9x+2.
(a) Encontre f circ g.
f circ g(x)=f(g(x))
(b) Calcule (f circ g)(-1).
(c) Encontre o domínio da função f circ g.

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=log2l(raiz[3]xr)
e
g(x)=-x^2+9x+2,
pede (a) a composição fcirc g, (b) seu valor em x=-1 e (c) o domínio de fcirc g. Vamos usar propriedades de logaritmo, composição de funções e resolver desigualdade para garantir que o argumento do log seja positivo.

Passo 2

Para compor, basta substituir g(x) em f. Assim
(fcirc g)(x) = fl(g(x)r) = log2!l(raiz[3]g(x)r) = log2!l(raiz[3]-x^2+9x+2r)

Passo 3

Para calcular (fcirc g)(-1) primeiro avaliamos
g(-1)=-(-1)^2+9-1+2=-1+91=8
Logo
(fcirc g)(-1) =log2l(raiz[3]8r) =log2(2) =1

Passo 4

Para o domínio precisamos (i) garantir que g(x) exista, ou seja xneq -2, e (ii) que o argumento do log seja positivo:
raiz[3]-x^2+9x+2>0 Long<=ftrightarrow -x^2+9x+2>0

Passo 5

Resolvendo
-x^2+9x+2 =(3-x)(3+x)x+2>0,
os pontos críticos são x=-3, x=-2 e x=3. Testando os sinais em cada intervalo, obtemos
-x^2+9x+2>0 Long<=ftrightarrow xin(-infty,-3)cup(-2,3)

Passo 6

Juntando as condições de existência ( xneq -2) e de positividade, o domínio de fcirc g é
(-infty,-3)cup(-2,3)

Resposta

(a) .
(b) .
(c) .

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