Exercício 10. Considere as funções
e
, respectivamente expressas por
e
para todo
. Seja
uma função definida para todo
e que satisfaz
para todo
. Mostre que
é uma função contínua em
.
Passo 1
O enunciado diz que para todo
vale
e pede para mostrar que
é contínua em
. Vamos usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem) e o fato de que
e
são contínuas em
.
Passo 2
Primeiro, avaliamos
e
em
:
Como
, temos
logo
Passo 3
Em seguida, calculamos os limites de
e
quando
. Como ambas são funções contínuas,
Passo 4
Pela hipótese
, o Teorema do Confronto garante que
Passo 5
Concluímos que
logo
é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em
.