Exercício 10. Considere as funções g e h, respectivamente expressas por
g(x)=\cos ^{2}(x)
e
h(x)=(x-\pi)^{2}+1
para todo x \in \mathbb{R}. Seja f uma função definida para todo x \in \mathbb{R} e que satisfaz
g(x) \leq f(x) \leq h(x)
para todo x \in \mathbb{R}. Mostre que f é uma função contínua em x=\pi.

Passo 1

O enunciado diz que para todo x\in\mathbb{R} vale
g(x)=\cos^2(x)\le f(x)\le h(x)=(x-\pi)^2+1
e pede para mostrar que f é contínua em x=\pi. Vamos usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem) e o fato de que g e h são contínuas em \pi.

Passo 2

Primeiro, avaliamos g e h em x=\pi:
g(\pi)=\cos^2(\pi)=(-1)^2=1,
h(\pi)=(\pi-\pi)^2+1=1.
Como g(\pi)\le f(\pi)\le h(\pi), temos
1\le f(\pi)\le1
logo
f(\pi)=1.

Passo 3

Em seguida, calculamos os limites de g e h quando x\to\pi. Como ambas são funções contínuas,
\lim_{x\to\pi}g(x)=g(\pi)=1,
\lim_{x\to\pi}h(x)=h(\pi)=1.

Passo 4

Pela hipótese g(x)\le f(x)\le h(x), o Teorema do Confronto garante que
\lim_{x\to\pi}f(x)=1.

Passo 5

Concluímos que
\lim_{x\to\pi}f(x)=1=f(\pi),
logo f é contínua em x=\pi.

Resposta

A função f é contínua em x=\pi.

Exercícios relacionados