Exercício 8. Calcule o montante de uma aplicação de \ 2000 a juros compostos capitalizados continuamente a uma taxa proporcional a15 %$ ao ano, durante 4 anos.
Resposta: O montante capitalizado continuamente é dado por
M:=\lim _{k \rightarrow \infty} 2000\left(1+\frac{0,15}{k}\right)^{4 k}=2000 \cdot e^{4 \cdot(0,15)}

Passo 1

O enunciado pede o montante de uma aplicação de P = 2000 reais a juros compostos continuamente, com taxa proporcional a 15\% ao ano (ou seja, r = 0,15) durante t = 4 anos. O conteúdo aqui é juros compostos com capitalização contínua.

Passo 2

Em capitalização contínua, o montante é dado pelo limite
M = \lim_{k \to \infty} P\Bigl(1 + \frac{r}{k}\Bigr)^{k\,t}.
Pela definição de exponencial, temos
\lim_{k \to \infty}\Bigl(1 + \frac{r}{k}\Bigr)^{k\,t} = e^{r\,t}.

Passo 3

Substituindo P = 2000, r = 0,15 e t = 4, obtemos
M = 2000 \, e^{0,15 \times 4} = 2000 \, e^{0,6}.
Para ter uma ideia do valor numérico, como e^{0,6} \approx 1,8221,
M \approx 2000 \times 1,8221 \approx 3644,2.

Resposta

M = 2000\,e^{0,6} \approx 3644,2 reais.

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