Exercício 10. Considere a reta r de equação 5 x+6 y=24 e considere a reta s de equação -9 x+4 y=90.
(a) Determine as coordenadas dos quatro pontos de interseção dessas retas com os eixos coordenados.
(b) Determine as coordenadas do ponto P de interseção dessas duas retas.
(c) Faça um esboço dessas retas em um mesmo plano cartesiano.
(d) Se A é a interseção de s com o eixo x, se B é a interseção da reta r com o eixo y e se O=(0,0) é a origem, calcule a área do quadrilátero A O B P.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no plano:
r:\;5x+6y=24
s:\;-9x+4y=90
Pede-se:
(a) as interseções de cada reta com os eixos x e y,
(b) o ponto P onde r e s se cruzam,
(c) um esboço das duas retas no mesmo sistema,
(d) a área do quadrilátero AOBP, onde A é a interseção de s com o eixo x, B é a interseção de r com o eixo y e O é a origem (0,0).

Passo 2

Para achar as interseções com os eixos, basta anular x (eixo y) ou y (eixo x) em cada equação:
Para r:5x+6y=24
• eixo x y=0:
5x=24\implies x=\frac{24}{5},
logo \bigl(\tfrac{24}{5},0\bigr).
• eixo y x=0:
6y=24\implies y=4,
logo \bigl(0,4\bigr).
Para s:-9x+4y=90
• eixo x y=0:
-9x=90\implies x=-10,
logo (-10,0).
• eixo y x=0:
4y=90\implies y=\frac{90}{4}=\frac{45}{2},
logo \bigl(0,\tfrac{45}{2}\bigr).

Passo 3

Para encontrar P\), solução do sistema \[\begin{cases} 5x+6y=24,\\\\ -9x+4y=90, \end{cases}
podemos eliminar y\]: multiplicando a primeira equação por \(2 e a segunda por 3 obtemos
10x+12y=48, \quad -27x+12y=270.
Subtraindo as duas:
37x=-222\implies x=-6.
Substituindo em 5x+6y=24:
5(-6)+6y=24\implies -30+6y=24\implies y=9.
Logo P=(-6,9).

Passo 4

Para esboçar basta plotar os pontos já encontrados e unir:
r passa por \bigl(\tfrac{24}{5},0\bigr) e (0,4).
s passa por (-10,0) e \bigl(0,\tfrac{45}{2}\bigr).
Marque também P=(-6,9) e a origem O=(0,0).

Passo 5

O quadrilátero AOBP tem vértices, na ordem A\to O\to B\to P:
A=(-10,0),\quad O=(0,0),\quad B=(0,4),\quad P=(-6,9).
Pela fórmula do polígono (shoelace), a área é
\text{Área} =\tfrac12\Bigl|\sum_{i=1}^{4}(x_i\,y_{i+1}-y_i\,x_{i+1})\Bigr|,Á
com (x_5,y_5)=(x_1,y_1). Calculando:
\sum x_i\,y_{i+1} =(-10)\cdot0+0\cdot4+0\cdot9+(-6)\cdot0=0,
\sum y_i\,x_{i+1} =0\cdot0+0\cdot0+4\cdot(-6)+9\cdot(-10)=-24-90=-114.
Logo
\text{Área}=\tfrac12\bigl|0-(-114)\bigr|=57.Á

Resposta

(a) r\cap x\!:\,\bigl(\tfrac{24}{5},0\bigr), r\cap y\!:\,(0,4); \;s\cap x\!:\,(-10,0), s\cap y\!:\,\bigl(0,\tfrac{45}{2}\bigr).
(b) P=(-6,9).
(c) Esboço conforme passo 4.
(d) \displaystyle 57.

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