Exercício 10. Considere a reta r de equação 5 x+6 y=24 e considere a reta s de equação -9 x+4 y=90.
(a) Determine as coordenadas dos quatro pontos de interseção dessas retas com os eixos coordenados.
(b) Determine as coordenadas do ponto P de interseção dessas duas retas.
(c) Faça um esboço dessas retas em um mesmo plano cartesiano.
(d) Se A é a interseção de s com o eixo x, se B é a interseção da reta r com o eixo y e se O=(0,0) é a origem, calcule a área do quadrilátero A O B P.
Passo 1
O enunciado dá duas retas no plano:
r:\;5x+6y=24
s:\;-9x+4y=90
Pede-se:
(a) as interseções de cada reta com os eixos x e y,
(b) o ponto P onde r e s se cruzam,
(c) um esboço das duas retas no mesmo sistema,
(d) a área do quadrilátero AOBP, onde A é a interseção de s com o eixo x, B é a interseção de r com o eixo y e O é a origem (0,0).
Passo 2
Para achar as interseções com os eixos, basta anular x (eixo y) ou y (eixo x) em cada equação:
Para r:5x+6y=24
• eixo x y=0:
5x=24\implies x=\frac{24}{5},
logo \bigl(\tfrac{24}{5},0\bigr).
• eixo y x=0:
6y=24\implies y=4,
logo \bigl(0,4\bigr).
Para s:-9x+4y=90
• eixo x y=0:
-9x=90\implies x=-10,
logo (-10,0).
• eixo y x=0:
4y=90\implies y=\frac{90}{4}=\frac{45}{2},
logo \bigl(0,\tfrac{45}{2}\bigr).
Passo 3
Para encontrar P\), solução do sistema
\[\begin{cases} 5x+6y=24,\\\\ -9x+4y=90, \end{cases}
podemos eliminar y\]: multiplicando a primeira equação por \(2 e a segunda por 3 obtemos
10x+12y=48, \quad -27x+12y=270.
Subtraindo as duas:
37x=-222\implies x=-6.
Substituindo em 5x+6y=24:
5(-6)+6y=24\implies -30+6y=24\implies y=9.
Logo P=(-6,9).
Passo 4
Para esboçar basta plotar os pontos já encontrados e unir:
• r passa por \bigl(\tfrac{24}{5},0\bigr) e (0,4).
• s passa por (-10,0) e \bigl(0,\tfrac{45}{2}\bigr).
Marque também P=(-6,9) e a origem O=(0,0).
Passo 5
O quadrilátero AOBP tem vértices, na ordem A\to O\to B\to P: