Exercício 10.1. Considere a seguinte equação diferencial
(a) Resolver a equação diferencial homogênea associada.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: temos a equação diferencial
para
. O conteúdo que vamos usar é equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver a parte homogênea dessa equação, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, que é
.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação homogênea:
. Sabemos que para resolver uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, buscamos soluções do tipo
, onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação, calculamos as derivadas:
Agora, substituímos
,
e
na equação homogênea:
Passo 4
Podemos fatorar
da equação:
Como
nunca é zero, temos que resolver a equação quadrática:
Passo 5
Para resolver a equação quadrática
, utilizamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
.
Passo 6
Calculamos o discriminante (
):
Passo 7
Agora, aplicamos os valores na fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial homogênea associada é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.