Exercício 10.1. Considere a seguinte equação diferencial
2 y^prime prime+3 y^prime-2 y=cos x, x>0
(a) Resolver a equação diferencial homogênea associada.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos a equação diferencial para . O conteúdo que vamos usar é equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver a parte homogênea dessa equação, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, que é .

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação homogênea: . Sabemos que para resolver uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, buscamos soluções do tipo , onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo y' = r e^r x na equação, calculamos as derivadas:
y'' = r^2 e^r x
2 r^2 e^r x + 3 r e^r x - 2 e^r x = 0
Agora, substituímos , e na equação homogênea:

Passo 4

Podemos fatorar e^r x (2 r^2 + 3 r - 2) = 0 da equação:
2 r^2 + 3 r - 2 = 0
Como nunca é zero, temos que resolver a equação quadrática:

Passo 5

Para resolver a equação quadrática r = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a , utilizamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e .

Passo 6

Calculamos o discriminante ( De):

Passo 7

Agora, aplicamos os valores na fórmula de Bhaskara:
r = -3 pm raiz254 = -3 pm 54
Isso nos dá duas soluções para r1 = 24 = 12 :
r2 = -84 = -2

Resposta

A solução geral da equação diferencial homogênea associada é:
y(x) = C1 e^12 x + C2 e^-2 x
Onde e são constantes arbitrárias.

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