Encontre as matrizes de mudança de base [I]_{\beta^{\prime}}^{\beta} \mathrm{e}[I]_{\beta}^{\beta^{\prime}}.
Passo 1
O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^2: \beta=\{(2,-1),\,(-3,2)\} e \beta'=\{(0,2),\,(3,-1)\}.
Queremos as matrizes de mudança de base [I]_{\beta'}^{\beta} (que leva coordenadas em \beta para coordenadas em \beta')
e [I]_{\beta}^{\beta'} (o inverso).
Para isso, vamos escrever cada vetor de \beta como combinação linear de \beta' e montar a matriz cujas colunas são essas coordenadas; depois invertemos para obter a outra.
Passo 2
Escrevemos o primeiro vetor de \beta\), \((2,-1)\), em função de \(\beta'\). Queremos \(a,b\) tais que
\[(2,-1)=a\,(0,2)+b\,(3,-1).
Isso dá o sistema
\begin{cases} 3b=2,\\\\ 2a - b=-1. \end{cases}
Da primeira equação (b=\tfrac{2}{3}]. Substituindo na segunda: 2a-\tfrac{2}{3}=-1\quad\Longrightarrow\quad2a=-\tfrac{1}{3}\quad\Longrightarrow\quad a=-\tfrac{1}{6}.
Passo 3
Agora o segundo vetor de \beta\), \((-3,2)\). Procuramos \(c,d\) tais que
\[(-3,2)=c\,(0,2)+d\,(3,-1),
isto é
\begin{cases} 3d=-3,\\\\ 2c - d=2. \end{cases}
Da primeira equação (d=-1]. Substituindo na segunda: 2c-(-1)=2\quad\Longrightarrow\quad2c+1=2\quad\Longrightarrow\quad c=\tfrac12.
Passo 4
As coordenadas de (2,-1) em \beta' são \bigl(-\tfrac{1}{6},\tfrac{2}{3}\bigr) e as de (-3,2) são \bigl(\tfrac12,-1\bigr). Assim