Exercício 10: Consideremos, em \mathbb{R}^{2}, as seguintes bases:
\begin{aligned} & \beta=\{(2,-1),(-3,2)\} \\\ & \beta^{\prime}=\{(0,2),(3,-1)\} \end{aligned}
Encontre as matrizes de mudança de base [I]_{\beta^{\prime}}^{\beta} \mathrm{e}[I]_{\beta}^{\beta^{\prime}}.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^2: \beta=\{(2,-1),\,(-3,2)\} e \beta'=\{(0,2),\,(3,-1)\}.
Queremos as matrizes de mudança de base [I]_{\beta'}^{\beta} (que leva coordenadas em \beta para coordenadas em \beta')
e [I]_{\beta}^{\beta'} (o inverso).
Para isso, vamos escrever cada vetor de \beta como combinação linear de \beta' e montar a matriz cujas colunas são essas coordenadas; depois invertemos para obter a outra.

Passo 2

Escrevemos o primeiro vetor de \beta\), \((2,-1)\), em função de \(\beta'\). Queremos \(a,b\) tais que \[(2,-1)=a\,(0,2)+b\,(3,-1).
Isso dá o sistema
\begin{cases} 3b=2,\\\\ 2a - b=-1. \end{cases}
Da primeira equação (b=\tfrac{2}{3}]. Substituindo na segunda:
2a-\tfrac{2}{3}=-1\quad\Longrightarrow\quad2a=-\tfrac{1}{3}\quad\Longrightarrow\quad a=-\tfrac{1}{6}.

Passo 3

Agora o segundo vetor de \beta\), \((-3,2)\). Procuramos \(c,d\) tais que \[(-3,2)=c\,(0,2)+d\,(3,-1),
isto é
\begin{cases} 3d=-3,\\\\ 2c - d=2. \end{cases}
Da primeira equação (d=-1]. Substituindo na segunda:
2c-(-1)=2\quad\Longrightarrow\quad2c+1=2\quad\Longrightarrow\quad c=\tfrac12.

Passo 4

As coordenadas de (2,-1) em \beta' são \bigl(-\tfrac{1}{6},\tfrac{2}{3}\bigr) e as de (-3,2) são \bigl(\tfrac12,-1\bigr). Assim
[I]_{\beta'}^{\beta} =\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{6} & \tfrac12\\[6pt] \tfrac{2}{3} & -1 \end{pmatrix}.
Em seguida calculamos a inversa para obter [I]_{\beta}^{\beta'}. O determinante é
\det=-\tfrac{1}{6}\cdot(-1)-\tfrac12\cdot\tfrac{2}{3} =\tfrac{1}{6}-\tfrac{1}{3}=-\tfrac{1}{6}.
Logo
[I]_{\beta}^{\beta'} =\bigl([I]_{\beta'}^{\beta}\bigr)^{-1} =\frac1{-\tfrac{1}{6}} \begin{pmatrix} -1 & -\tfrac12\\[4pt] -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{6} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 6 & 3\\[4pt] 4 & 1 \end{pmatrix}.]

Resposta

[I]_{\beta'}^{\beta} =\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{6} & \tfrac12\\[6pt] \tfrac{2}{3} & -1 \end{pmatrix}, \qquad [I]_{\beta}^{\beta'} =\begin{pmatrix} 6 & 3\\[4pt] 4 & 1 \end{pmatrix}.]

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