Exercício 10. (D.K. ex. 5.14) Seja (uj)j in N uma sequência de medidas de Radon em Omega com a propriedade de que para todo phi in Cc^infty(Omega), temos lim j infty uj(phi)=u(phi). Mostre que para todo compacto K subset Omega existe uma constante c>0 tal que
|uj(phi)| <= c(sup x in Omega|phi(x)|), forall j in N e forall phi in Cc^infty(K)
Prove que u é é uma medida de Radon positiva.
Por fim, mostre que, para toda f in Cc(Omega), não necessariamente diferenciável, temos lim j infty uj(f)=u(f).
Dica: Use o seguinte resultado visto em sala de aula. Seja K subset Omega um compacto. Logo para toda função chi in Cc^infty(Omega), 0 <= chi <= 1, que seja igual a 1 numa vizinhança de K, temos
|u(phi)| <= u(chi)|phi|C^0, forall phi in Cc^infty(K)
em que |phi|C^0:=sup x in Omega|phi(x)|.

Passo 1

O enunciado trata de uma sequência l(ujr)jinN de medidas de Radon em Omega que converge na ação sobre test‐funções: para todo phiin Cc^infty(Omega) vale
limjtoinfty uj(phi) = u(phi)
Precisamos mostrar três coisas:
1. Para cada compacto K subset Omega existe c > 0 tal que
|uj(phi)| <= c , |phi|C^0 para todo j e toda phi in Cc^infty(K).
2. A distribuição u é na verdade uma medida de Radon positiva.
3. A convergência estende‐se a toda f in Cc(Omega), ou seja,
limjtoinfty uj(f) = u(f).
Os principais ingredientes são (i) a estimativa padrão para medidas positivas via uma função de recorte chi, (ii) o fato de que limites de funcionais lineares positivos permanecem positivos e (iii) um argumento de aproximação de funções contínuas por funções suaves.

Passo 2

Seja KsubsetOmega compacto. Escolhemos chiin Cc^infty(Omega) com 0<=chi<=1 e chiequiv1 numa vizinhança de K. Como cada uj é medida de Radon positiva, para toda phiin Cc^infty(K) vale
|uj(phi)| = uj(chi,phi)<= uj(chi),|phi|C^0
Além disso, uj(chi)to u(chi)<infty, logo a sequência l(uj(chi)r)jin N é limitada. Definindo
c = supjin Nuj(chi)<infty,
obtém-se
|uj(phi)|<= c,|phi|C^0,forall j, forallphiin Cc^infty(K)

Passo 3

Primeiro, u é linear e, para phi >= 0 em Cc^infty(Omega),
u(phi) = limjtoinfty uj(phi) >= 0
pois cada uj é positiva. Assim u é funcional linear positivo em Cc^infty(Omega). Pelo passo 2 temos que u é contínuo na norma |cdot|C^0 em cada Cc^infty(K). Isso estende‐se a Cc(K) e, pelo Teorema de Riesz–Markov, u corresponde a uma medida de Radon positiva sobre Omega.

Passo 4

Agora seja . Escolhemos uma sequência tal que para algum compacto que contém e
Dada , pelo passo existe que vale para todas e todos . Então, para cada ,
As duas primeiras parcelas satisfazem

e
.
Logo, primeiro escolho grande para tornar
e ,
depois tomo grande para que
. Assim

para suficientemente grande, isto é,

Resposta

Para cada compacto KsubsetOmega existe c>0 tal que
|uj(phi)|<= c,|phi|C^0 forall j, forallphiin Cc^infty(K)
Além disso, u é uma medida de Radon positiva e, para toda fin Cc(Omega),
limjtoinftyuj(f)=u(f)

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