Exercício 10. (D.K. ex. 5.14) Seja uma sequência de medidas de Radon em com a propriedade de que para todo , temos . Mostre que para todo compacto existe uma constante tal que
Prove que é é uma medida de Radon positiva.
Por fim, mostre que, para toda , não necessariamente diferenciável, temos .
Dica: Use o seguinte resultado visto em sala de aula. Seja um compacto. Logo para toda função , que seja igual a 1 numa vizinhança de , temos
em que .
Passo 1
O enunciado trata de uma sequência de medidas de Radon em que converge na ação sobre test‐funções: para todo vale
Precisamos mostrar três coisas:
. Para cada compacto existe tal que para todo e toda . . A distribuição é na verdade uma medida de Radon positiva. . A convergência estende‐se a toda , ou seja, .
Os principais ingredientes são (i) a estimativa padrão para medidas positivas via uma função de recorte , (ii) o fato de que limites de funcionais lineares positivos permanecem positivos e (iii) um argumento de aproximação de funções contínuas por funções suaves.
Passo 2
Seja compacto. Escolhemos com e numa vizinhança de . Como cada é medida de Radon positiva, para toda vale
Além disso, , logo a sequência é limitada. Definindo
obtém-se
Passo 3
Primeiro, é linear e, para em ,
pois cada é positiva. Assim é funcional linear positivo em . Pelo passo temos que é contínuo na norma em cada . Isso estende‐se a e, pelo Teorema de Riesz–Markov, corresponde a uma medida de Radon positiva sobre .
Passo 4
Agora seja . Escolhemos uma sequência tal que para algum compacto que contém e
Dada , pelo passo existe que vale para todas e todos . Então, para cada ,
As duas primeiras parcelas satisfazem
e .
Logo, primeiro escolho grande para tornar e ,
depois tomo grande para que . Assim
para suficientemente grande, isto é,
Resposta
Para cada compacto KsubsetOmega existe c>0 tal que