Exercício 1. (D.K. ex. 7.1) Seja Omega subset R^n um aberto e f in C(Omega). Mostre que o suporte de f como função e como distribuição coincidem (supp(f)=supp(Tf)).

Passo 1

O enunciado diz que OmegasubsetR^n é aberto e fin C(Omega). Definimos a distribuição Tf por
Tf(varphi)=integralOmegaf(x),varphi(x),dx forallvarphiin Cc^infty(Omega)
Queremos mostrar que o suporte de f como função, isto é
supp(f)=xinOmega: f(x)neq0,
é igual ao suporte de Tf como distribuição, definido como o menor fechado cujo complemento é o maior aberto UsubsetOmega em que
Tf(varphi)=0 ;;sempre que;; suppvarphisubset U

Passo 2

Mostramos primeiro supp(Tf)subsetsupp(f). Seja x0notinsupp(f). Então existe um vizinho aberto V de x0 em que f(x)=0 para todo xin V. Se varphiin Cc^infty(Omega) tem suppvarphisubset V, então em todo ponto desse suporte fequiv0, logo
Tf(varphi) =integralOmegaf,varphi =integralV0cdotvarphi =0
Isso mostra que Tf anula todos os varphi com suporte em V, ou seja, x0 não pertence ao suporte de Tf. Portanto
supp(Tf)subsetsupp(f)

Passo 3

Agora mostramos . Suponha, por absurdo, que exista mas . Então existe um aberto tal que
Como , temos por definição de suporte de função (ou então não haveria ponto de não anulação arbitrariamente próximo). Como é contínua, existe um pequeno aberto contendo em que é constante e . Defina um test function , suave, com e . Então
não pode ser zero, pois é de sinal fixo e não identicamente nulo em . Isso contradiz a hipótese . Logo não há como ter , e assim

Resposta

supp(f)=supp(Tf).

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