Exercício 1. (D.K. ex. 7.1) Seja um aberto e . Mostre que o suporte de como função e como distribuição coincidem .
Passo 1
O enunciado diz que é aberto e . Definimos a distribuição por
Queremos mostrar que o suporte de como função, isto é
é igual ao suporte de Tf como distribuição, definido como o menor fechado cujo complemento é o maior aberto UsubsetOmega em que
Tf(varphi)=0 ;;sempre que;; suppvarphisubset U
Passo 2
Mostramos primeiro supp(Tf)subsetsupp(f). Seja x0notinsupp(f). Então existe um vizinho aberto V de x0 em que f(x)=0 para todo xin V. Se varphiin Cc^infty(Omega) tem suppvarphisubset V, então em todo ponto desse suporte fequiv0, logo
Isso mostra que Tf anula todos os varphi com suporte em V, ou seja, x0 não pertence ao suporte de Tf. Portanto
supp(Tf)subsetsupp(f)
Passo 3
Agora mostramos . Suponha, por absurdo, que exista mas . Então existe um aberto tal que
Como , temos por definição de suporte de função (ou então não haveria ponto de não anulação arbitrariamente próximo). Como é contínua, existe um pequeno aberto contendo em que é constante e . Defina um test function , suave, com e . Então
não pode ser zero, pois é de sinal fixo e não identicamente nulo em . Isso contradiz a hipótese . Logo não há como ter , e assim