Exercício 9. (D.K. ex. 5.12) Seja
uma função contínua em
e definamos as distribuições
, por
Existe
tal que
? Se existir, qual é este limite? (Dica: Pense na integral de Riemann)
Passo 1
O enunciado define, para cada
, a distribuição
onde
é contínua em
e
é a delta de Dirac em
. Precisamos verificar se existe
tal que
em distribuições e, em caso afirmativo, identificar
. A dica indica pensar em somas de Riemann.
Passo 2
Seja
(função de teste de suporte compacto). A ação de
em
é
Denotando
e o passo
, essa soma fica
Passo 3
Como
tem suporte compacto, existe
tal que
para
. Para
grande, todos os
com
estão no intervalo de soma, e os demais termos não contribuem. Logo
que é exatamente a soma de Riemann para a integral de
em
.
Passo 4
Pela continuidade de
e
, a função
é contínua em
e, portanto, integrável. Assim, ao refinarmos o passo
(isto é,
), a soma de Riemann converge para
pois fora de
vale
.
Passo 5
Definimos então a distribuição
por
Essa é a distribuição regular associada à função contínua
. Pelo que foi mostrado,
para todo
, ou seja,
em
.
Resposta
Sim. O limite é a distribuição regular dada por
isto é,
.