Exercício 10. (D.K. ex. 9.3) Determine as soluções
da equação
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as distribuições
tais que
Aqui o conteúdo é resolução de uma equação de distribuições envolvendo multiplicação por um monômio. Vamos usar duas ideias: (1) mostrar que a solução deve ter suporte em
, e (2) aplicar o teorema estrutural das distribuições de suporte pontual.
Passo 2
Para ver que
, seja
com suporte longe de
. Então
também tem suporte longe de
, logo
implica
para todo
testada fora de
. Assim
só “vive” em
.
Passo 3
Pelo teorema de estrutura, toda distribuição com suporte em
se escreve como combinação finita de derivadas do delta de Dirac:
para certos constantes
.
Passo 4
Impondo
temos, para toda
,
Mas pela regra de Leibniz,
sempre que
, e é não nulo para
. Para que a soma seja zero para todo
, é preciso que todos os
para
.
Passo 5
Logo só restam termos com
. Assim as soluções são
com
constantes arbitrárias.