Exercício 10. (D.K. ex. 9.3) Determine as soluções u in D^prime(R) da equação x^k u=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as distribuições uinD'(R) tais que
x^ku=0
Aqui o conteúdo é resolução de uma equação de distribuições envolvendo multiplicação por um monômio. Vamos usar duas ideias: (1) mostrar que a solução deve ter suporte em 0, e (2) aplicar o teorema estrutural das distribuições de suporte pontual.

Passo 2

Para ver que supp,usubset0, seja phiinD(R) com suporte longe de 0. Então x^kphi também tem suporte longe de 0, logo
lang<= x^ku,phirang<= =lang<= u,x^kphirang<= =0
implica lang<= u,phirang<==0 para todo phi testada fora de 0. Assim u só “vive” em x=0.

Passo 3

Pelo teorema de estrutura, toda distribuição com suporte em 0 se escreve como combinação finita de derivadas do delta de Dirac:
u=sumj=0^Ncj,de<a^(j),
para certos constantes cjinR.

Passo 4

Impondo x^ku=0 temos, para toda phi,
0 =lang<= x^ku,phirang<= =llang<= sumj=0^Ncj,de<a^(j),,x^kphirrang<= =sumj=0^Ncj(-1)^jl(x^kphir)^(j)(0)
Mas pela regra de Leibniz, l(x^kphir)^(j)(0)=0 sempre que j<k, e é não nulo para j>= k. Para que a soma seja zero para todo phi, é preciso que todos os cj=0 para j>= k.

Passo 5

Logo só restam termos com j<k. Assim as soluções são
u=sumj=0^k-1cj,de<a^(j),
com c0,c1,dots,ck-1 constantes arbitrárias.

Resposta

boxed,u(x)=sumj=0^k-1cj,de<a^(j)(x), cjinR,

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