Exercício 12. (D.K. ex. 9.5) Vimos em sala de aula que
é solução de
. Usando este fato:
a) Prove que a distribuição
satisfaz
.
b) Aplicando o operador diferencial
, prove que se
é solução de
, então
é solução de
.
c) Usando os itens a) e b), determine todas as soluções
da equação
.
a) Prove que a distribuição
b) Aplicando o operador diferencial
c) Usando os itens a) e b), determine todas as soluções
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar no espaço das distribuições
com a multiplicação por
e a derivação. Em particular:
- Em (a) já sabemos que a distribuição
satisfaz
- Precisamos usar a regra de derivação de produto de uma distribuição
por uma função , que é
- Em (b) e (c) vamos generalizar para a equação
e construir novas soluções a partir de soluções conhecidas, além de caracterizar todas as soluções.
Passo 2
Provar que
.
Como é constante, derivamos ambos os lados:
Como
Pela regra de derivação de produto de distribuições,
Logo
Passo 3
Partindo de
, mostramos que
satisfaz
.
Derivando temos
Derivando
Multiplicando por
dá
Mas
, então
Assim, se definirmos
então
Passo 4
Determinar todas as soluções de
.
- Começamos com a solução particular de ordem
, que é satisfazendo . - Aplicando iterativamente o item (b), obtemos uma solução particular de
: pois cada derivada e multiplicação por sobe a potência de . - A parte geral da solução da equação homogênea
são distribuições com suporte em , isto é, combinações lineares de . - Portanto, a solução geral de
é com constantes arbitrárias .
Resposta
A solução geral de
em
é
onde
são constantes arbitrárias.