Exercício 12. (D.K. ex. 9.5) Vimos em sala de aula que u=1x+i 0 é solução de x u=1. Usando este fato:
a) Prove que a distribuição u satisfaz x u^prime=-u.
b) Aplicando o operador diferencial x partialx, prove que se u é solução de x^k u=1, então v=-1k u^prime é solução de x^k+1 v=1.
c) Usando os itens a) e b), determine todas as soluções u in D^prime(R) da equação x^k u=1.

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar no espaço das distribuições D'(R) com a multiplicação por x e a derivação. Em particular:
  • Em (a) já sabemos que a distribuição
u = 1x + i0
satisfaz
x,u = 1
  • Precisamos usar a regra de derivação de produto de uma distribuição T por uma função x, que é
l(x,Tr)' ;=; T + x,T'
  • Em (b) e (c) vamos generalizar para a equação
x^k,u ;=; 1
e construir novas soluções a partir de soluções conhecidas, além de caracterizar todas as soluções.

Passo 2

Provar que x,u'=-u.
Como x,u=1 é constante, derivamos ambos os lados:
l(x,ur)' ;=; 0
Pela regra de derivação de produto de distribuições,
l(x,ur)' = u + x,u'
Logo
u + x,u' = 0 Longrightarrow x,u' = -,u

Passo 3

Partindo de x^k,u=1, mostramos que v=-tfrac1ku' satisfaz x^k+1v=1.
Derivando x^k,u=1 temos
l(x^k,ur)' = 0 ;Longrightarrow; k,x^k-1u + x^k,u' = 0
Multiplicando por x
k,x^k,u + x^k+1,u' = 0
Mas x^k,u=1, então
kcdot 1 + x^k+1,u' = 0 ;Longrightarrow; x^k+1,u' = -,k
Assim, se definirmos
v = -1k,u',
então
x^k+1,v = 1

Passo 4

Determinar todas as soluções de x^k,u=1.
  1. Começamos com a solução particular de ordem 1, que é u1 = 1x+i0, satisfazendo x,u1=1.
  2. Aplicando iterativamente o item (b), obtemos uma solução particular de x^k,u=1: uk ;=; (-1)^k-1,1(k-1)!, u1^(k-1), pois cada derivada e multiplicação por -1/k sobe a potência de x.
  3. A parte geral da solução da equação homogênea x^k,u=0 são distribuições com suporte em 0, isto é, combinações lineares de de<a,de<a',dots,de<a^(k-1).
  4. Portanto, a solução geral de x^k,u = 1 é u = uk ;+; sumj=0^k-1 Cj,de<a^(j), com constantes arbitrárias C0,dots,Ck-1.

Resposta

A solução geral de x^k,u=1 em D'(R) é
u(x) =;(-1)^k-1,1(k-1)!,d^,k-1dx^,k-1l(tfrac1x+i0r) ;+;sumj=0^k-1Cj,de<a^(j)(x),
onde C0,dots,Ck-1 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados