Exercício 9 (D.L.2.7)
Mostre que
exp t(cc -mu0 & lambda0 mu0 & -lambda0 )=(cc lambda+mu e^-sigma0 t & lambda-lambda e^-sigma0 t mu-mu e^-sigma0 t & mu+lambda e^-sigma0 t ) in M2(R)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a matriz exponential
expl(tAr),
onde
A = -mu0 & lambda0 mu0 & -lambda0 ,
e mostrar que o resultado é
lambda0+mu0e^-(lambda0+mu0)t & lambda0-lambda0e^-(lambda0+mu0)t mu0-mu0e^-(lambda0+mu0)t & mu0+lambda0e^-(lambda0+mu0)t
Para isso vamos diagonalizar A e usar a fórmula exp(tA)=P,exp(tD),P^-1

Passo 2

Encontramos os autovalores de A resolvendo
detl(A - rIr) =det! -mu0-r & lambda0 mu0 & -lambda0-r =(-mu0-r)(-lambda0-r)-lambda0mu0
Expandindo,
(mu0+r)(lambda0+r)-lambda0mu0 =r(lambda0+mu0+r)
Logo os autovalores são
r1=0, r2=-(lambda0+mu0)equiv -sigma0

Passo 3

Agora achamos vetores próprios.
Para r1=0 a equação A v=0
-mu0x1+lambda0x2=0 Longrightarrow v1=lambda0mu0
Para r2=-sigma0 a equação (A+sigma0I)v=0
(lambda0+mu0-mu0)x1+lambda0x2=0 ;Longrightarrow; x1=-x2,
podendo escolher
v2=1-1

Passo 4

Formamos
P = l[v1;;v2r] =lambda0&1mu0&-1, D = 0&00&-sigma0
O inverso de P é
det P = -(lambda0+mu0)=-sigma0, P^-1 = 1-sigma0 -1&-1-mu0&lambda0 =1sigma0 1&1mu0&-lambda0

Passo 5

Pela diagonalização temos
exp(tA) = P;exp(tD);P^-1 = Pe^0&00&e^-sigma0tP^-1 = P1&00&e^-sigma0tP^-1
Vamos chamar
M = P1&00&e^-sigma0t =lambda0&e^-sigma0tmu0&-e^-sigma0t

Passo 6

Finalmente,
exp(tA) =M,P^-1 =lambda0&e^-sigma0tmu0&-e^-sigma0t 1sigma0 1&1mu0&-lambda0
Fazendo a multiplicação de matrizes obtemos, em cada entrada,
lambda0+mu0e^-sigma0t & lambda0-lambda0e^-sigma0t mu0-mu0e^-sigma0t & mu0+lambda0e^-sigma0t ,
que é exatamente o que se queria demonstrar.

Resposta

expl(t-mu0&lambda0mu0&-lambda0r) = lambda0+mu0e^-(lambda0+mu0)t & lambda0-lambda0e^-(lambda0+mu0)t mu0-mu0e^-(lambda0+mu0)t & mu0+lambda0e^-(lambda0+mu0)t

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