Exercício 9 (D.L.2.7)
Mostre que
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para calcular a matriz exponential
onde
e mostrar que o resultado é
Para isso vamos diagonalizar
e usar a fórmula
Passo 2
Encontramos os autovalores de
resolvendo
Expandindo,
Logo os autovalores são
Passo 3
Agora achamos vetores próprios.
Para a equação
dá
Para
Para
a equação
dá
podendo escolher
Passo 4
Formamos
O inverso de
é
Passo 5
Pela diagonalização temos
Vamos chamar
Passo 6
Finalmente,
Fazendo a multiplicação de matrizes obtemos, em cada entrada,
que é exatamente o que se queria demonstrar.