Exercício 0.10 Dadas as funções a seguir, ache se possível o ponto de inflexão do gráfico de f e determine onde o gráfico é côncavo para cima e côncavo para baixo.
f(x)=3 x^2-12 x+9.

Passo 1

A questão dá a função f(x)=3x^2-12x+9. O conteúdo é derivadas e análise de concavidade: para achar pontos de inflexão e concavidade, precisamos calcular a segunda derivada f''(x).

Passo 2

Calcular a primeira derivada f'(x). A derivada de 3x^2 é 6x, de -12x é -12\ e de (+9$ é 0. Logo,
é 0 Logo,

Passo 3

Calcular a segunda derivada f''(x). Derivando f'(x)=6x-12, temos
f''(x)=6

Passo 4

Para haver ponto de inflexão, buscamos onde f''(x)=0 ou é indefinida. Aqui f''(x)=6 é constante e nunca se anula nem fica indefinida, então não existe ponto de inflexão.

Passo 5

A concavidade de f vem do sinal de f''(x). Como f''(x)=6>0 para todo x, o gráfico é côncavo para cima em todo o domínio e não há região côncava para baixo.

Resposta

Não há ponto de inflexão. O gráfico é côncavo para cima para todo xinR e nunca côncavo para baixo.

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