Exercício 0.10 Dadas as funções a seguir, ache se possível o ponto de inflexão do gráfico de
e determine onde o gráfico é côncavo para cima e côncavo para baixo.
.
Passo 1
A questão dá a função
. O conteúdo é derivadas e análise de concavidade: para achar pontos de inflexão e concavidade, precisamos calcular a segunda derivada
.
Passo 2
Calcular a primeira derivada
. A derivada de
é
, de
é
\ e de (+9$ é 0. Logo,
Passo 3
Calcular a segunda derivada
. Derivando
, temos
Passo 4
Para haver ponto de inflexão, buscamos onde
ou é indefinida. Aqui
é constante e nunca se anula nem fica indefinida, então não existe ponto de inflexão.
Passo 5
A concavidade de
vem do sinal de
. Como
para todo
, o gráfico é côncavo para cima em todo o domínio e não há região côncava para baixo.
Resposta
Não há ponto de inflexão. O gráfico é côncavo para cima para todo
e nunca côncavo para baixo.