Utilizando derivação logarítmica, encontre y^prime se y=x^tg x.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y = x^{\tan x} usando derivação logarítmica. O conteúdo envolve derivadas de funções com expoentes e bases variáveis e a regra da derivada implícita após aplicar ln.

Passo 2

Aplicamos logaritmo natural nos dois lados para simplificar a potência. Assim, temos
ln y = tan x cdot ln x

Passo 3

Agora vamos derivar ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, usando derivada de ln y e regra da cadeia, e no direito, produto de tan x por ln x:
1yy' = ddx(tan x)cdotln x + tan xcdotddx(ln x)
Sabemos que ddx(tan x)=sec^2 x e ddx(ln x)=tfrac1x, logo
1yy' = sec^2 xln x + tan xcdot1x

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por y e substituímos y = x^{\tan x}, obtendo
y' = yl(sec^2 xln x + tan xxr) = x^tan xl(sec^2 xln x + tan xxr)

Resposta

y’=x^{\tan x}\Bigl(\sec^2 x\ln x+\tfrac{\tan x}{x}\Bigr)

Exercícios relacionados