Utilizando derivação logarítmica, encontre
se
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de y = x^{\tan x} usando derivação logarítmica. O conteúdo envolve derivadas de funções com expoentes e bases variáveis e a regra da derivada implícita após aplicar ln.
Passo 2
Aplicamos logaritmo natural nos dois lados para simplificar a potência. Assim, temos
Passo 3
Agora vamos derivar ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, usando derivada de ln y e regra da cadeia, e no direito, produto de tan x por ln x:
Sabemos que
e
, logo
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por y e substituímos y = x^{\tan x}, obtendo
Resposta
y’=x^{\tan x}\Bigl(\sec^2 x\ln x+\tfrac{\tan x}{x}\Bigr)