(20pts) A área da superfície da parte do plano
acima do retângulo
vale
(a)
;
(b)
;
©
;
(d)
;
(e) nenhuma das alternativas.
(a)
(b)
©
(d)
(e) nenhuma das alternativas.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a área da superfície da parte do plano
que está acima do retângulo definido por
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especialmente o cálculo de áreas de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a área de uma superfície
sobre uma região
no plano
. A fórmula é:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
No nosso caso,
. Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Vamos substituir essas derivadas na fórmula da área:
Passo 5
Como
é uma constante, podemos tirá-la da integral:
Passo 6
Agora, precisamos calcular a área do retângulo
. A área de um retângulo é a base vezes a altura. Aqui, a base é
e a altura é
. Então:
Passo 7
Substituindo de volta na fórmula da área da superfície:
Resposta
A área da superfície é
. Portanto, a alternativa correta é a letra (e) nenhuma das alternativas.