(20pts) A área da superfície da parte do plano z=2+3 x+4 y acima do retângulo [0,5] times[1,4] vale
(a) 12raiz23;
(b) 15raiz23;
© 15raiz26;
(d) 12raiz26;
(e) nenhuma das alternativas.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a área da superfície da parte do plano que está acima do retângulo definido por . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especialmente o cálculo de áreas de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a área de uma superfície A = integral duplaD raiz1 + ( partial fpartial x )^2 + ( partial fpartial y )^2 , dx , dy sobre uma região no plano . A fórmula é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

No nosso caso, partial fpartial x = 3 partial fpartial y = 4 . Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 4

Vamos substituir essas derivadas na fórmula da área:
A = integral duplaD raiz1 + 3^2 + 4^2 , dx , dy = integral duplaD raiz1 + 9 + 16 , dx , dy = integral duplaD raiz26 , dx , dy

Passo 5

Como A = raiz26 integral duplaD , dx , dy é uma constante, podemos tirá-la da integral:

Passo 6

Agora, precisamos calcular a área do retângulo Área de D = 5 times 3 = 15 . A área de um retângulo é a base vezes a altura. Aqui, a base é e a altura é . Então:
Á

Passo 7

Substituindo de volta na fórmula da área da superfície:
A = raiz26 times 15 = 15raiz26

Resposta

A área da superfície é . Portanto, a alternativa correta é a letra (e) nenhuma das alternativas.

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