Exercício 3.10.2. Dadas as matrizes
A=(ccc 1 & -1 & 0 -1 & 1 & 1 ) B=(ccc -2 & 1 & -1 2 & 1 & 1 1 & 1 & 0 ) C=(cc 0 & 1 1 & 1 0 & -1 )
calcular, quando for possível, os produtos
3 A^T+B C.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão ,3A^T+BC. Aqui vamos precisar de três coisas: (i) transpor a matriz A, (ii) multiplicar as matrizes B e C, e (iii) somar as duas matrizes resultantes, garantindo que elas tenham a mesma dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos obter A^T a partir de
A = 1 & -1 & 0 -1 & 1 & 1
Invertendo linhas por colunas,
A^T = 1 & -1 -1 & 1 0 & 1
Multiplicando cada entrada por 3, chega-se a
3A^T = 3 & -3 -3 & 3 0 & 3

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto BC. Começando com
B = -2 & 1 & -1 2 & 1 & 1 1 & 1 & 0 , C = 0 & 1 1 & 1 0 & -1
Como B é 3times3 e C é 3times2, o resultado será 3times2. Cada entrada (i,j) de BC é a soma dos produtos da linha i de B pela coluna j de C. Fazendo os cálculos:
– Linha 1, coluna 1: (-2)cdot0 + 1cdot1 + (-1)cdot0 = 1
– Linha 1, coluna 2: (-2)cdot1 + 1cdot1 + (-1)cdot(-1) = 0
– Linha 2, coluna 1: 2cdot0 + 1cdot1 + 1cdot0 = 1
– Linha 2, coluna 2: 2cdot1 + 1cdot1 + 1cdot(-1) = 2
– Linha 3, coluna 1: 1cdot0 + 1cdot1 + 0cdot0 = 1
– Linha 3, coluna 2: 1cdot1 + 1cdot1 + 0cdot(-1) = 2
Logo,
BC = 1 & 0 1 & 2 1 & 2

Passo 4

Agora temos duas matrizes de dimensão 3times2:
3A^T = 3 & -3 -3 & 3 0 & 3 , BC = 1 & 0 1 & 2 1 & 2
Podemos somá-las elemento a elemento:
3A^T + BC = 3+1 & -3+0 -3+1 & 3+2 0+1 & 3+2 = 4 & -3 -2 & 5 1 & 5

Resposta

4 & -3 -2 & 5 1 & 5

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