Exercício 2.10.5 Determine os intervalos onde cada função composta f circ g seja contínua.
f(x)=1x-2 e g(x)=raizx;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os intervalos em que a função composta (fcirc g)(x)=fl(g(x)r) é contínua, sendo
f(x)=1x-2, g(x)=raizx
O conteúdo usado é que a composição de funções contínuas é contínua nos pontos em que ambas estão definidas.

Passo 2

Primeiro, achamos o domínio de cada função:
g(x)=raizx está definida para
x>= 0
f(x)=tfrac1x-2 está definida para
xneq 2
Para que (fcirc g)(x) exista, é necessário que x pertença a [0,infty) e que g(x)neq 2.

Passo 3

A condição g(x)neq 2 equivale a
raizxneq 2 Long<=ftrightarrow xneq 4
Logo o domínio de fcirc g é
[0,infty)setminus4

Passo 4

Escrevendo explicitamente a composta, temos
(fcirc g)(x) =1raizx-2
Como raizx é contínua em [0,infty) e xmapsto1/x é contínua em Rsetminus0, a razão tfrac1raizx-2 é contínua em todo ponto do seu domínio, ou seja, onde raizx-2neq0.

Passo 5

O domínio [0,infty)setminus4 divide-se nos dois intervalos conectos
[0,4) e (4,infty),
em cada um dos quais (fcirc g)(x) é contínua.

Resposta

(fcirc g)(x)=1/(raizx-2) é contínua nos intervalos
[0,4) e (4,infty)

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