Exercício 2.10.7 Determine o valor da constante c e k de forma que a função dada abaixo seja contínua em Re e faça um esboço da função resultante.
f(x)=lll3 x+7, & se x <= 4 k x-1, & se x>4;

Passo 1

Estamos com a função por partes
f(x)= 3x+7, & x<= 4, kx-1, & x>4,
e queremos que ela seja contínua em R. A única “potencial” falha de continuidade é em x=4, pois em qualquer outro ponto cada ramo é uma reta (contínua). Para garantir continuidade em x=4 basta igualar o limite pela esquerda, o valor em 4 e o limite pela direita.

Passo 2

Calculamos o limite pela esquerda em x=4:
limxto4^-f(x)=3cdot4+7=12+7=19
Esse também é o valor de f(4), que vamos chamar de c. Logo
c=19

Passo 3

Agora o limite pela direita em x=4 é
limxto4^+f(x)=kcdot4-1=4k-1

Passo 4

Para continuidade em x=4 precisamos
4k-1=c
Como já vimos que c=19, substituímos:
4k-1=19 Longrightarrow 4k=20 Longrightarrow k=5

Passo 5

O esboço de f fica assim:
  • Para x<=4 temos a reta y=3x+7 terminando no ponto (4,19).
  • Para x>4 temos a reta y=5x-1 começando exatamente em (4,19).
    Como ambas passam por (4,19), a função é contínua.

Resposta

c=19 e k=5.

Exercícios relacionados