Exercício 2.13 Considere a função
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
(d) f é contínua em (1,1) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pergunta se f é contínua em (1,1). O conteúdo aqui é continuidade de funções de \mathbb{R}^2 e o que vamos usar é que somas, produtos e quocientes de funções polinomiais são contínuos desde que o denominador não se anule.

Passo 2

Como (1,1)\neq(0,0), num entorno de (1,1) temos x^2+y^2>0. Logo, perto de (1,1)
f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}
é razão de polinômios cujo denominador nunca vale zero. Polinômios são contínuos em toda parte e o quociente de duas funções contínuas é contínuo onde o denominador é diferente de zero. Portanto
\lim_{(x,y)\to(1,1)}f(x,y) =\frac{1^2-1^2}{1^2+1^2} =0 =f(1,1),
mostrando que f é contínua em (1,1).

Resposta

Sim, f é contínua em (1,1) porque ali ela é dado por uma razão de polinômios com denominador não nulo.

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